Как решить задачу (математика 9 класс)?
Из пункта А в пункт В по течению реки одновременно отправились две моторные лодки. Скорость первой лодки была на 1 км/ч больше, чем скорость второй лодки. Скорость течения реки 4 км/ч. Последнюю 1/7 часть пути первая моторная лодка плыла с выключенным мотором, её скорость относительно берега была равна скорости течения. Найдите скорость второй лодки в неподвижной воде, если в пункт В обе лодки прибыли одновременно.

               Стандартный способ решения таких задач - это составление уравнений относительно неизвестных величин. В данной задаче неизвестны скорости обеих лодок, но так как по условию нужно найти скорость второй лодки в неподвижной воде, то именно ее скорость мы обозначим через х. Тогда скорость первой лодки в неподвижной воде будет (х+1), а их скорости по течению будут равны (х+4) и (х+5) соответственно. Весь путь можно обозначить через S (или взять за 1), тогда время движения второй лодки будет равно S/(x+4). Чтобы найти время движения первой лодки нужно рассматривать два участка движения: с включенным мотором 6*S/7 (S-S/7=6*S/7) и с выключенным S/7. Время движения на этих участках будут равны соответственно: 6*S/(7*(х+5)) и S/(7*4). По условию в пункт В лодки прибыли одновременно, значит: S/(x+4) = 6*S/(7*(х+5)) + S/(7*4) или 1/(x+4) = 6/(7*х+35)) + 1/28.  После преобразования получим: 28*(7*х+35) = 6*28*(х+4) + 7*(х+5)(х+4) или 28х+140=24х+96+х^2+9х+20. х^2+5х-24=0. Корни этого уравнения: х1=-8, х2=3. Ответ: скорость второй лодки равна 3 км/ч.
                                                                              

               Пусть собственная скорость второй лодки х км/ч, тогда собственная скорость первой лодки (х+1) км/ч. Скорость первой лодки по течению (х+5) км/ч, скорость второй лодки по течению (х+4) км/ч. Расстояние от пункта А до пункта В примем за 1. Тогда 6/7 пути первая лодка будет плыть со скоростью (х+5) км/ч, потратив на эту часть пути 6/(7(х+5)) ч, а 1/7 часть пути первая лодка будет плыть со скоростью течения реки, то есть 4 км/ч, потратив на этот путь 1/7 : 4 = 1/28 ч. Вторая лодка весь путь проплывёт со скоростью (х+4) км/ч, потратив на этот путь 1/(х+4) ч. Получаем уравнение.
6/(7(х+5)) + 1/28 = 1/(х+4)
Домножим всё на 28, х+5≠0, х+4≠0.
24 * (х + 4) + (х + 4) * (х + 5) = 28 * (х + 5)
24х + 96 + х² + 4х + 5х + 20 = 28х + 140
х² + 5х - 24 = 0
Найдём дискриминант.
D = 5² - 4 * 1 * (-24) = 25 + 96 = 121, √D = 11
х₁ = (-5 - 11) / 2 = -8 - отрицательный корень не подходит.
х₂ = (-5 + 11) / 2 = 3 км/ч - собственная скорость второй лодки.
Проверка.
6/7 : 8 + 1/7 : 4 = 1/7
3/28 + 1/28 = 1/7
4/28 = 1/7
1/7 = 1/7 - всё верно.
Ответ: скорость второй лодки в неподвижной воде равна 3 км/ч.