Без калькулятора, пожалуйста

Без калькулятора можно геометрически, даже считать «вручную» нет необходимости.
Берем два числа с недостатком и избытком, квадраты которых максимально близки числу 0,9
√0,81= 0,9 и  √1= 1.
Разности между этими числами и их корнями соответственно равны 0,19 и 0,10. Строим треугольник АВС в масштабе: 0,01- длина одной клетки. Катет АС отображает разность чисел, а катет АВ – их корней. Проводим отрезок DЕ перпендикулярно катету АС от отметки 0,9 до пересечения с гипотенузой. От точки пересечения Е строим параллельно этому катету от резок ЕF. Тогда
√0,9 ≈ ВF ≈ 0,948.
Если считать «вручную», подойдет метод Ньютона.
Тогда для √0,9:
а₁ = 0,9;
а₂ = 1/2 * (0,9 + 0,9/0,9) = 0,95;
а₃ = 1/2 * (0,95 + 0,9/0,95) = 0,9486842...
Для сравнения √0,9 = 0,9486832...
                                                                              

Корень квадратный из числа равен другому числу который будучи умноженным само на себя будет равно числу из которого извлекается корень. В данном примере очевидно что корень квадратный из 0.9 меньше 1, поскольку корень квадратный из корень 1 равен 1. Возьмём среднее значение между 0,9 и 1, предположим что это 0,95, тогда 0,95*0,95=0,9025. Значит корень квадратный из 0.9 чуть меньше 0,95 и мы нашли его с достаточной точностью и на этом можно остановиться, хотя при желании можно продолжить поиск с большей точностью без калькулятора умея только умножать. Ответ: корень квадратный из 0.9 с небольшим избытком равен 0,95.

f(a + △) ≈ f(a) + f'(a)△
f(x) = √x; a = 1; △ = −1/10
√(1 − 1/10) ≈ 1 − (1/2)·(−1/10) = 0,95
И так далее до требуемой точности.
a = 0,95²; △ = 0,9 − 0,95² ...

Прежде всего "осознаём", что число 0,9 не является точным квадратом. При устном счёте удобнее оперировать с целыми числами, поэтому, для начала, умножим исходное число на 100. Получаем 90.
Вспомним такой приём. При возведении в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5 (можно и с большим количеством знаков, но нам достаточно двух), пишем 25, а спереди приписываем число, получающееся при умножении числа десятков на число, на 1 большее. Долго объяснять, быстрее показать на примерах:
25^2=2*(2+1)25=(2*3)�25=625. 75^2=7*(7+1)25=(7*�25=5625.
Для чисел, в 10 раз меньших, будет тот же принцип:
2,5^2=2*(2+1)(0,25)=SHY(0,25)=6,25. 7,5^2=7*(7+1)(0,25)=�7*8(0,25)56,25.
Думаю принцип понятен. Пробуем по этому принципу 9,5^2=(9*10)(0,25)=9�0,25. Квадрат подобранного числа (90,25) отличается от заданного (90) на величину 0,25, что составляет не более 0,3 %. Для большинства практических ситуаций этого вполне достаточно.

Давайте порассуждаем. 0,9 = 0,90. Начнем с того, что примерное значение корней можно найти зная квадраты первых десяти и больше натуральных чисел. Представим число 0,9 в виде: 0,9 = 0,90. Значит мы будем искать число квадрат которого близок к 90, это число 9. Значит в первом приближении квадратный корень из 0,9 равен 0,9. Если же искать более точное значение, то нужно представить число 0,9 = 0,9000, то есть будем искать число квадрат которого близок к 9000. Проверяем 90, 90*90=8100, 91*91= 8281, 92*92=8464, 93*93=8649,94*94=883�6,95*95=9025. Значит во втором приближении можно сказать, что квадратный корень из 0,9 равен 0,95. И так далее.

Тут сразу ясно, что искомое число будет больше, чем то, из которого извлекают корень. 0,9 - число дробное, а значит так его в виде дроби и представим: √ 9/10, применяем известное правило и получаем √9/√10=3/√10, для нижнего числа далее следует, поскольку вычислить точно не удается, применять метод подбора, заполняя разряды. Итак, √10 = 3 (первый разряд 3*3=9), далее идет запятая и после нее следующий разряд - 1 и так далее, примерно до 4 цифры, в нашем случае - 3,1622, примерно, разумеется. Что получается? 3/3,1622=0,9487. Все действия можно производить "столбиком" на бумажке, не используя калькулятор.

Представим дробь 0,9 следующим образом:0,9=9*10^п/1�0*10^п
п-может быть любым натуральным числом, сколько угодно большим.
Можно взять такое п, чтобы из знаменателя извлекался корень являющийся степенью числа 10.Корень же из числителя найти на калькуляторе или по таблицам. Чем больше п тем точнее будет значение корня из дроби
Найду и я. Пусть п=7.
9486,873-корень из 90000000
10000-корень из 10000000
Тогда корень из 0 9 с некоторой неизвестной мне точностью будет :0,94868...
Повторюсь,точность мне неизвестна, но это уже другая тема.