Известно, что около четырёхугольника CDEF можно описать окружность и что продолжения сторон EF и DC четырехугольника пересекаются в точке B. Докажите, что треугольники BDE и BCF подобны.

Это легко доказать, пользуясь тем фактом, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180 град. Откуда имеем:
∠EDC + ∠EFC = 180°/,
Кроме того, ∠BFC + ∠BDE = 180°, как смежные.
Из этих двух равенств видно, что  ∠BDE = ∠EFC, потому что ∠BFC - это то же самое, что и ∠EFC. Ну а угол В в этих треугольниках - общий. Итого два угла одного треугольника равны двум углам другого, откуда и следует их подобие.