Как это решить Как решается данная система неравенств?.

Решаем первое неравенство. (Так как в нём все логарифмы по основанию 3, то для упрощения записи основание писать не буду):
3^log^2(x) + x^log(x) >= 2*3^(1/4),
[3^log(x)]^log(x) + x^log(x) >= 2*3^(1/4),
Так как 3^log(x)=х (не забываем, что логарифм по основанию 3), то получим:
x^log(x) + x^log(x) >= 2*3^(1/4),
2*x^log(x) >= 2*3^(1/4),
x^log(x) >= 3^(1/4),
Прологарифмируем получившееся неравенство по основанию 3. Поскольку основание больше 1, знак неравенства сохраняется:
[log(x)]*[log(x)] >= (1/4)*log(3),
log^2(x) >= 1/4,
log^2(x) -1/4  >= 0,
log^2(x) - (1/2)^2  >= 0,
[log(x) - (1/2)]*[log(x) + (1/2)]  >= 0,
Получаем два диапазона:
1) либо log(x) >= 1/2, x >= 3^(1/2), x >= √3
2) либо log(x) <= -1/2, x <= 3^(-1/2), x <= 1/3^(1/2), x <= 1/√3, x <= √3/3.
Второе неравенство совсем простое (но здесь основание логарифмов равно 2):
log^2(x) + 6 >= 5*log(x),
log^2(x) - 5*log(x) + 6 >= 0,
[log(x)-2]*[log(x)-3] >=0,
Опять получаем два диапазона:
1) либо log(x) >= 3, x >= 2^3, x >= 8
2) либо log(x) <= 2, x <= 2^2, x <= 4.
Решением системы тоже будут два диапазона:
1) либо x >= 8,
2) либо x <= √3/3.
P.S. Совсем упустил из виду. В самом начале нужно было указать, ОДЗ x > 0.
Соответственно, второй диапазон решения будет таким 0 < x <= √3/3.
P.P.S. Пользователь smog2605 обнаружил в моём ответе ошибку, и указал мне на неё в личном обращении, за что я ему очень признателен. Оказывается, в решение входит ещё один диапазон:
√3 <= x <= 4.
Итак, с учетом всех исправлений и дополнений:
1) 0 < x <= √3/3,
2) √3 <= x <= 4,
3) x >= 8.