Каждое из чисел а₁, а₂, ..., а₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим:
S₁=а₁+а₂+...+а₃₅₀, S₂=а₁²+а₂²+...+а₃₅₀²�, S₃=а₁³+а₂³+...+а₃₅₀³�, S₄=а₁⁴+а₂⁴+...+а₃₅₀⁴
Известно, что S₁=513. 
А) Найдите S₄, если S₂=1097, S₃=3243
Б) Может ли S₄=4547? 
В) Пусть S₄=4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂. 

Каждое из чисел равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим:
N₁ - общее кол-во чисел, равных "1"
N₂ - общее кол-во чисел, равных "2"
N₃ - общее кол-во чисел, равных "3"
N₄ - общее кол-во чисел, равных "4"
при этом общее кол-во всех чисел равно 350, значит:
N₁ + N₂ + N₃ + N₄ = 350
далее, известно, что S₁ = 513, значит:
N₁ + 2N₂ + 3N₃ + 4N₄ = 513
S₂ = 1097, значит:
N₁ + 2²*N₂ + 3²*N₃ + 4²*N₄ = 1097
N₁ + 4N₂ + 9N₃ + 16N₄ = 1097
S₃=3243, значит:
N₁ + 2³*N₂ + 3³*N₃ + 4³*N₄ = 3243
N₁ + 8N₂ + 27N₃ + 64N₄ = 3243
решаем систему из 4-х линейных уравнений, с 4-мя неизвестными:
N₁ + N₂ + N₃ + N₄ = 350
N₁ + 2N₂ + 3N₃ + 4N₄ = 513
N₁ + 4N₂ + 9N₃ + 16N₄ = 1097
N₁ + 8N₂ + 27N₃ + 64N₄ = 3243
1-й шаг:
N₁ + N₂ + N₃ + N₄ = 350
N₂ + 2N₃ + 3N₄ = 163
3N₂ + 8N₃ + 15N₄ = 747
7N₂ + 26N₃ + 63N₄ = 2893
2-й шаг:
N₁ + N₂ + N₃ + N₄ = 350
N₂ + 2N₃ + 3N₄ = 163
2N₃ + 6N₄ = 258
12N₃ + 42N₄ = 1752 
3-й шаг:
N₁ + N₂ + N₃ + N₄ = 350
N₂ + 2N₃ + 3N₄ = 163
2N₃ + 6N₄ = 258
6N₄ = 204
получаем:
N₄ = 204/6 = 34
2N₃ = 258 - 204 = 54; N₃ = 27
N₂ = 163 - 2N₃ - 3N₄ = 163 - 54 - 102 = 7
N₁ = 350 - N₂ - N₃ - N₄ = 350 - 7 - 27 - 34 = 282
Ответ:
S₄ = N₁ + 2⁴*N₂ + 3⁴*N₃ + 4⁴*N₄ = 282 + 16*7 + 81*27 + 256*34 = 11285
                                                                              

воспользуемся системой уравнений, составленной при ответе на вопрос Б):
N₁ - N₃ - 2N₄ =  187
N₂ + 2N₃ + 3N₄ = 163
50N₃ + 210N₄ = Х - 2795
рассмотрим сначала последнее уравнение:
50N₃ + 210N₄ = Х - 2795 = 4745 - 2795 = 1950
5N₃ + 21N₄ = 195
21*N₄ = 5*(39 - N₃)
N₃ и N₄ - это целые неотрицательные числа, при этом числа 5 и 21 не имеют общих делителей, следовательно данное уравнение имеет только 2 решения:
N₃ = 39, N₄ = 0
N₃ = 18, N₄ = 5
вариант 1:
N₃ = 39, N₄ = 0 , подставляем данные значения в систему уравнений:
N₁  =  187 + N₃ + 2N₄ = 187 + 39 = 226
N₂  = 163 - 2N₃ - 3N₄ = 163 - 2*39 = 85
S₂ = N₁ + 4N₂ + 9N₃ + 16N₄ = 226 + 4*85 + 9*39 = 917
вариант 2:
N₃ = 18, N₄ = 5 , подставляем данные значения в систему уравнений:
N₁  =  187 + N₃ + 2N₄ = 187 + 18 + 2*5  = 215
N₂  = 163 - 2N₃ - 3N₄ = 163 - 2*18 - 3*5 = 112
S₂ = N₁ + 4N₂ + 9N₃ + 16N₄ = 215 + 4*112 + 9*18 + 16*5 = 905
Ответ:
при условии, если S₄ = 4745, тогда S₂ может принимать два значения: 917 или 905

обозначим S₄ = N₁ + 2⁴*N₂ + 3⁴*N₃ + 4⁴*N₄ = Х
N₁ + 16*N₂ + 81*N₃ + 256*N₄ = Х
решаем систему из 3-х линейных уравнений, с 4-мя неизвестными:
N₁ + N₂ + N₃ + N₄ = 350
N₁ + 2N₂ + 3N₃ + 4N₄ = 513
N₁ + 16N₂ + 81N₃ + 256N₄ = Х
1-й шаг:
N₁ + N₂ +  N₃ +  N₄ = 350
N₂ + 2N₃ + 3N₄ = 513 - 350 = 163
15N₂+ 80N₃+ 255N₄ = Х - 350
2-й шаг:
N₁ -  N₃ -  2N₄ = 350 - 163 = 187
N₂ + 2N₃ + 3N₄ = 163
50N₃ + 210N₄ = Х - 350 - 163*15 = Х - 2795
рассмотрим последнее уравнение:
50N₃ + 210N₄ = Х - 2795
предположим, что S₄ = 4547, т.е Х = 4547
тогда получаем:
50N₃ + 210N₄ = 1752
10*(5N₃ + 21N₄) = 1752
данное уравнение не имеет решений при целочисленных значениях N₃  и N₄
Ответ:
S₄ не может равняться 4547