Стрелок сделал 30 выстрелов в мишень. За первое попадание ему начислили 0,75 балла, а за каждое следующее попадание на 0,5 балла больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал 99,75 балла?

Не мудрствуя лукаво, я просто составил таблицу таких странных начисляемых баллов этому стрелку:
01 - 0.75
02 - 1.25
03 - 1.75
04 - 2.25
05 - 2.75
06 - 3.25
07 - 3.75
08 - 4.25
09 - 4.75
10 - 5.25
11 - 5.75
12 - 6.25
13 - 6.75
14 - 7.25
15 - 7.75
16 - 8.25
17 - 8.75
18 - 9.25
19 - 9.75
сумма 99.75
Как видно, именно 19 выстрелов приносят итоговый результат в 99.75 баллов, следовательно, в 11 других случаях стрелок промахнулся мимо мишени.
                                                                              

               Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы первых n-членов арифметической прогрессии, чтобы найти количество выстрелов, попавших в мишень. Для этого подставим имеющиеся данные в формулу:
Sn=n*((2*a1+d*(n-1))/2
Sn - это сумма набранных очков = 99,75
a1 - первое попадание стрелка = 0,75
d - шаг, с которым увеличивается балльность за каждое попадание в цель = 0,5
99,75=n*((2*0,75+0,5*(n-1))/2
99,75*2=n*(1,5+0,5*n-0,5*1)
199,5=n*(1,5+0,5*n-0,5)
199,5=n*(1+0,5*n)
199,5=1*n+0,5*n*n
199,5=n+0,5*n^2
Перемножим левую и правую части уравнения на 2:
199,5*2=n*2+0,5*n^2*2
399=2*n+n^2
Перенесём элементы уравнения в одну сторону, получим квадратное уравнение и решим его:
n^2+2*n-399=0
Формула дискриминанта: D=b^2-4*a*c
D=2^2-4*1*(-399)=4+1596=1600
n1,2=(-b±?D)/2*a
n1=(-2+?1600)/2*1=(-2+40)/2=38/2=19
n2=(-2-?1600)/2*1=(-2-40)/2=-42/2=-21
Отрицательное значение нам не подходит, получается, что стрелок попал в цель ровно 19 раз.
Теперь остаётся вычесть из всех выстрелов стрелка (а это значения по условиям задачи равно 30 раз) 19 попаданий в цель:
30-19=11
Получается, что стрелок промахнулся ровно 11 раз. Это и есть наша искомая величина и окончательный ответ.