Прежде всего нужно "заметить" (или "догадаться") что выражение в скобках "[x–2√(x–1)]" можно расписать как [x-1–2√(x–1)+1]. И тогда становится видно, что оно является полным квадратом, т.е. либо [√(x–1)-1)]^2, либо [1-√(x–1)]^2, следовательно либо √[x–2√(x–1)]=√(x–1)-1,
либо √[x–2√(x–1)]=1-√(x–1). Поскольку при решении уравнений рассматривается только АРИФМЕТИЧЕСКИЙ корень (ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ), то нам в зависимости от знака нужно выбрать либо первый, либо второй вариант. Чтобы было проще, берётся МОДУЛЬ одного из этих выражений, например |√(x–1)-1|
Итак, получаем: √(x–1)+|√(x–1)-1|=1.
Далее определяем ОДЗ х-1>=0, или х>=1.
Далее определяем корни модуля, т.е. при каких значениях "х" подмодульное выражение равно нулю (меняет знак).
Итак: √(x–1)-1=0, √(x–1)=1, х-1=1, х=2.
Значит подмодульное выражение однократно меняет знак при х=2. При при х>=2 оно НЕОТРИЦАТЕЛЬНО. а при х<2 (не забываем, что ОДЗ х>=1, следовательно при 1<=x<2 ) оно ОТРИЦАТЕЛЬНО.
Значит при х>=2 уравнение будет таким:  √(x–1)+√(x–1)-1=1.
Решаем его:  2√(x–1)=2, √(x–1)=1, x–1=1, х=2. Значит х=2 является его решением.
Далее рассмотрим промежуток 1<=x<2
В этом промежутке уравнение будет таким:  √(x–1)+1-√(x–1)=1.
Получилось тождество (равенство независимое от значения "х". Это значит, что любое значение из промежутка 1<=x<2 является решением уравнения.
Итак, в промежутке 1<=x<2 решением является любое значение "х", а при значениях х>=2 имеет единственное решение х=2. Объединяя оба решения, получаем: 1<=x<=2.
Т.е. решением является ЛЮБОЕ значение Х из промежутка [1;2].
                                                                              

√[x – 2√(x – 1)] =√[x – 1 - 2√(x – 1)  + 1] = √(x-1) - 1
2√(x-1) = 2
x= 2
Второй вариант, когда мы выражение √[x – 1 - 2√(x – 1)  + 1]
рассматриваем как корень из квадрата 1 - √(x – 1)
Этот вариант приводит к тождеству 1 = 1
Но проверка на произвольное значение икса  провалится, потому что у нас перед обоими радикалами в условии стоят плюсы.
Мдя... А вот как выйти на второй корень x=1 ?
Приходится третий способ решения выбирать
√(x – 1) + √[x – 2√(x – 1)] = 1
√(x – 1)  - 1 = - √[x – 2√(x – 1)]   |^2
x - 1  - 2√(x – 1) + 1 = -x + 2√(x – 1)
2x = 4√(x – 1)
x^2 - 2x + 1 =0
х = 1
Крутую Вы задачку составили

Сделайте замену: a = 2√(x-1). Тогда x = (a^2+4)/4.
После подстановки и упрощения уравнения и свойства, что √(а^2)=|a| получим:
|a|+|a-2|=2
Развязав эти уравнения (раскрыв модули) получим два корня: а=0 и a=2.
Подставим 2√(х-1)=0. Отсюда х=1.
2√(х-1)=2. Отсюда х=2.
Как-то так.

Выполним умножение, приведем подобные члены и получим х^2-x=0.Вынесем х за скобки, х(х-1)=0, х1=0, х2=1. Не проще ли таким способом решить, не влезая в дебри...)