На 43 клетки шахматной доски 8×8 положили по камню. Посчитали произведение количества камней, лежащих на белых клетках, и количества камней, лежащих на чёрных клетках. Найдите минимальное возможное значение этого произведения.

Шахматная доска у меня есть. Камней, привезённых ещё десять лет назад с Чёрного моря, тоже хватает. Можно поэкспериментировать�. И, конечно, первым делом приходит в голову поделить места их размещения пополам. Только, как известно, число 43 является нечётным и пополам не делится. Но не беда - можно взять два числа, одно из которых 22, а другое 21. И после этого на шахматной доске мы расставим по белым клеткам 22 камня.
И что нам это даёт? А ситуация даёт комбинацию 22 на 21 (43-22=21). Произведение полученных чисел вычисляется путём их умножения:
22 * 21 = 462И тут возникает вопрос - что будет, если добавить ещё один камень на белую клетку в ущерб чёрным позициям? В этом случае у нас окажется 23 камня при белом основании и всего лишь два десятка при чёрном:
23 * 20 = 460Любопытно! Всего-то один лишний камень на белом, а произведение уменьшилось на два. Что же будет, если на белые клетки перекинуть ещё с пяток камушков? Тогда их станет 28, а у чёрных останется всего-то полтора десятка. И результат окажется следующим:
28 * 15 = 420Очевидно, что с каждым добавлением камней в когорту белых клеток у нас уменьшается произведение. Только ведь всем понятно, что число светлых позиций на шахматной доске ограничено половиной общего числа клеток (64/2 = 32). Таким образом мы не можем поставить на доску больше 32-х камней. Но что мы имеем при таком распределении? Вычисляем:
32 * 11 = 320 + 32 = 352Пожалуй, это и есть минимальное значение. По крайней мере мне не видится другого решения. Можно поставить 32 белых камня и 11 чёрных. Можно, наоборот, разместить 11 белых и 32 чёрных. Итог один - минимальное произведения одного количества на другое составит 352. Не меньше!
                                                                              

Максимальное произведение двух натуральных сомножителей (сумма которых фиксирована) будет тогда, когда они как можно ближе будут по величине друг к другу. И наоборот, когда они будут по величине разнесены. В идеале, когда один из сомножителей равен единице.
Но в нашем случае это не возможно, ибо максимальное значение каждого сомножителя ограничено числом 32 (количество белых и чёрных клеток), а потому возможен только такой оптимальный расклад, как  32 и 11, что даёт в произведении 352.

В шахматной доске 8×8 по 32 клетки черного и белого цвета. По условию надо расставить 43 камня на клетки так, чтобы произведение их на черной и на белой клетках было наименьшим.
Величина произведения числа зависит от величин его множителей. Для наименьшего произведения, положим камни на все клетки одного цвета - 32, а оставшиеся 11 на другого. Тогда наименьшее произведение количества камней будет равно 32*11 = 352.