На доске записаны N⩾9 различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся девятое, отличное от них, такое, что сумма этих девяти чисел целая. При каких N это возможно?

Вот только тэги к задаче указаны неверно. Увидев задачу, задумался а в какой номер вопроса из ОГЭ она могла попасть. Закрались сомнения. Ну и быстрый поиск развеял сомнения. Это олимпиадная задача и к ОГЭ отношения не имеет. Я конечно понимаю, что некоторые математические курсы могут даже включать такие задачи в пробники, но на реальном ОГЭ такого не бывает.
Ну а по решению. Очевидно, что для N = 9 это возможно
Например запишем числа 0,04 + 0,06 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 = 4
Все 9 сумарно должны дать целое. И тогда какие бы 8 не взяли девятое будет дополнять до целого.
А вот при N > 9 такого выполняться не будет.
И вот тут для обычного школьника уже доказательство будет представлять трудности.
Тут стоит рассмотреть доказательство от противного.
Рассмотрим для N=10 и все условия выполняются
Отсортируем числа по возрастанию. И возьмем первые восемь. х₁ < ... < x₈. Девятое и десятое число больше этих 8, но не важно как они расположены между собой.
К этим восьми числам должно подойти девятое. Тогда сумма х₁ + ... + х₉ = K - целому
Заметим что сумма всех десяти чисел  S будет: K < S < K+1, так как десятое число от 0 до 1. А сумма восьми чисел больше K-1, так как девятое тоже от 0 до 1.
Тогда сумма любых девяти будет точно меньше K+1
Заменим теперь в исходных восьми числах наименьшее х₁ на х₁₀.
К этой восьмерке чисел добавление х₁ не даст целого, так как это возможно только если девятое и десятое равны.
А добавление девятого тоже не даст целого, так как целое было в суме x₁+ ... + х₉ = K
В результате отняли х₁ + и добавили х₁₀, то есть добавили сумарно величину больше 0 и меньше 1
Получили противоречие.
Ну а далее добавление любого N > 10 c такими же рассуждениями всегда приведет к противоречию.
Но более формально можно провести по индукции следующие шаги.
Ответ: только при N=9