В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рис.). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

Само задание поставлено так, что может невольно сбить с толку. Сперва говорится о перпендикулярах и лишь потом упоминается диагональ. Так получается и в другом вопросе - при упоминании диагоналей параллелограмма мы первым делом вспоминаем, что они сами делятся пополам в точке своего пересечения. Кто-то даже ухитряется вспомнить, что в этом случае параллелограмм делится на четыре равновеликие (равные по площади) треугольника. При этом многие забывают упомянуть, что каждая диагональ делит сам параллелограмм на два равных треугольника.
А мне думается, что именно второе свойство из числа показанных на картинке должно нам сейчас помочь разобраться с задачей. Давайте возьмём исходный параллелограмм и разделим его одной диагональю. Только для начала проведём лишь один из упомянутых перпендикуляров BE и посмотрим на картинку:
 Теперь подумаем, что будет, если мы возьмём от нашего параллелограмма только половинку от ∆ABC и повернём её на 180° вокруг того самого места пересечения диагоналей? Очевидно, что весь треугольник ∆ABC перевернётся и станет на место ∆CDA. Вместе с ним снизу вверх налево потянется и высота - из точки D в точку F. То есть, с одной стороны, это перпендикуляр из точки D, но он же получается путём поворота левого верхнего треугольника направо вниз.
А поворот на 180° свидетельствует о чём? По-моему, о том, что все отрезки в новых местах параллельны тем, что были в исходных.
AB || CD, BC || DA, BE || DFНо тогда, если провести из вершины B отрезок в точку F, то при повороте на 180° он точно также станет параллелен своему прототипу и соединит точки D и E.
Я всё-таки не стану показывать точку O, которая является точкой пересечения диагоналей нашего параллелограмма. Она важна, но не главная в этой ситуации. Главное в том, что после поворота вокруг неё на 180° два отрезка BE и BF превращаются в DF и DE, которые попарно параллельны, что и является свидетельством того, что четырёхугольник BFDE является параллелограммом.
                                                                              

А чего тут доказывать-то?
Ясен пень, что раз перпендикуляры опущены на одну линию, то они параллельны меж собой. Более того они (в данном случае еще и равны между собой, ибо проведены к диагонали (а стало быть средней линии) параллелограмма из противолежащих к ней углов. Сторона EF является общей для треугольников BEF и DEF, стало быть треугольники эти равны. Отсюда следует, что отрезки BF и ED тоже равны между собой. А равные отрезки находящиеся между параллельными прямыми - меж собой тоже параллельны.
Отсюда вывод по правилу определения параллелограмма: если противоположные стороны четырехугольника взаимно параллельны, то мы имеем ничто иное, как параллелограмм.