Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Причём AC=BD. Точки E, F, G, H – середины отрезков AB, BC, CD, AD соответственно. Найдите значение выражения S(ABCD)/(EG*FH), где S(ABCD) – площадь четырёхугольника ABCD.

Во-первых, я хотел бы всё-таки изготовить иллюстрацию к этой задача, чтобы всё было наглядно. Так проще не только объяснять другим, но и самому понимать. Мало того, я добавил ещё пару точек M и N, которые у нас будут соответствовать пересечениям диагоналей AC и BD, а также отрезков EG и FH. Кроме того, сразу выделю ещё один четырёхугольник, соединив точки EFGH. Вот, что в итоге получилось:
И ещё одно замечание, которое касается свойств произвольного четырёхугольника. Согласно ему наша красная фигура EFGH является параллелограммом:
Только есть один нюанс. Чтобы разобраться, давайте посмотрим на треугольник ∆ABC. Отрезок EF является для него средней линий. Следовательно, длина EF равна половине AC. Мало того, это работает для всех четырёх синих треугольников:
EF = AC / 2;FG = BD / 2;GH = CA / 2;HE = DB / 2.Но по условиям задачи длины отрезков AC (CA) и BD (DB) равны. Отсюда равны и их половины. Тогда наша красная фигура не просто параллелограмм, а самый настоящий ромб EFGH. И, если вы помните, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
S(efgh) = EG * FH / 2.А теперь обратите внимание, например, на треугольник ∆ABM. На мой взгляд очевидно, что линии EF и EH являются средними и для этого треугольника. Помимо прочего, наш ромб EFGH отсекает от него ровно половину площади - отсекаемые параллелограммы легко складываются из двух оставшихся треугольников. И такая ситуация имеет место для каждого из треугольников ∆ABM, ∆BCM, ∆CDM и ∆DAM, образующих четырёхугольник ABCD. Таким образом весь ромб отнимает у исходного четырёхугольника ровно половину. Тогда:
S(abcd) = 2 * S(efgh);S(abcd) = 2 * EG * FH / 2 = EG * FH.Как видно, S(abcd) = EG * FH и тогда соотношение, о котором спрашивается в задании будет равно единице.
S(abcd) / (EG * FH) = 1