На листочке написано более 100, но меньше 115 целых чисел. Среднее арифметическое чисел, меньших 13, равно ‐20, а среднее арифметическое чисел, больших 13, равно 35. Среднее арифметическое всех чисел, записанных на листочке, равно 7.
А) Сколько чисел записано на листочке?
Б) Может ли чисел, больших 13, быть больше, чем чисел, меньших 13?
В) Какое наибольшее количество чисел, которые больше 13, может быть среди этих чисел, если известно, что есть хотя бы одно число, равное 13?

Для решения представим последовательность чисел, не умоляя общности представим их в неубывающем порядке: a(1); a(2); ... ; a(n)
То есть всего n чисел, где 100 < n < 115
Пусть до k элемента будут числа меньше 13, то есть k таких чисел
тогда a(1) + ... + a(k) = -20•k
Возможно есть числа равные 13, пусть это будут элементы с k+1 до m, тогда среднее арифметическое этих чисел тоже равно 13 и (m-k) - количество чисел равных 13
то есть a(k+1) + ... a(m) = 13•(m-k)
И остались числа больше 13, они будут идти с m+1 до n элемента, то есть (n-m) - количество чисел больше 13.
a(m+1) + ... + a(n) = 35•(n - m)
А среднее арифметическое всех чисел равно 7, то есть
a(1) + ... a(k) + a(k+1) + ... + a(m) + a(m+1) + ... + a(n) = 7•n
Получаем:
7n = -20k + 13(m-k) + 35(n-m), раскроем скобки и приведем подобные и получим
28n = 33k + 22m
28n = 11(3k + 2m)
Таким образом получили, что n должно делится на 11, а это единственное число 110
Ответ: A) 110 чисел записано на листочке
Для решения Б) надо установить возможность (n-m) > k или 110 - m > k
Пи этом m ≥ k
Используем полученное уравнение в A)
28•110 = 11•(3k + 2m)
280 = 3k + 2m
Подставим в уравнение неравенство
280 < 3(110-m) + 2m
280 < 330 - m
m < 50
Тогда количество k  = (280 - 2m) / 3 > 180/3 = 60
Получили k > 60, но так как m < 50 и m≥k, то k < 50. Пришли к противоречию.
Ответ: Б) нет, не может.
Из условия будет m > k
И из уравнения
280 = 3k + 2m
280 < 3m + 2m
m > 280/5 = 56
Осталось найти минимальное m > 56, удовлетворяющее решению уравнения в целых числах
так как 280 имеет остаток 1 при делении на 3, а 3k - остаток 0, то 2m должно иметь остаток 1, соответсвенно m - имеет остаток 2 при делении на 3
Таким числом будет m = 59. (Но можно было и перебором, подставить m = 57 и m = 58 и убедится, что целого решения нет)
280 = 3k + 2•59
k = 54
Количество чисел больших 13: n-m = 110-59 = 51
Получаем пример: 54 числа меньших 13 (пусть они все -20) и среднее -20
5 чисел равных 13, среднее 13
и 51 число больших 13 (пусть они все 35), среднее 35
Итого получаем (-20•54 + 5•13 + 51•35) / 110 = (-4•54 + 13 + 51•7) / 22 = (-216 + 13 + 357) / 22 = 154/22 = 77/11 = 7
Ответ: В) максимально возможно 51 число.