В трапеции ABCD с основанием AD диагонали пересекаются в точке О, AD=2BC. Через вершину А проведена прямая, параллельная диагонали BD, а через вершину D проведена прямая, параллельная диагонали АС, и эти прямые пересекаются в точке Е.
А) Докажите, что BO:AE=1:2
Б) Прямые ВЕ и СЕ пересекают сторону AD в точках М и N соответственно. Найдите MN, если AD=20.

по условию Задачи, трапеция ABCD имеет  основания AD и ВС, т.е AD и ВС - параллельны
значит треугольники ∆ВОС и ∆AOD - подобные (т.к у данных треугольников все углы попарно равны), следовательно:
ВО/OD = ВС/АD = 1/2 (т.к по условию Задачи AD=2BC)
четырехугольник АODЕ - параллелограмм (т.к по условию Задачи: OD ∥ АЕ, а также АО ∥ ЕD), следовательно:
OD = АЕ (т.к у параллелограмма - противолежащие стороны равны)
значит:
ВО/OD = BO/AE = 1/2
1.в треугольниках ∆ВОС и ∆AOD, из точки О, построим высоты h₁ и h₂
вспоминаем, что треугольники ∆ВОС и ∆AOD - подобные, значит:
h₁/h₂ = ВС/АD = 1/2
2.треугольники ∆АЕD и ∆AOD - равны (т.к четырехугольник АODЕ - параллелограмм)
значит в треугольнике ∆АЕD высота, опущенная из точки Е также равна h₂
3.треугольники ∆ВЕС и ∆MEN - подобные (т.к ВС ∥ MN)
следовательно:
MN/ВС = h₂(h₂ + h₂ + h₁) = h₂(5/2*h₂) = 2/5
вспоминаем, что ВС/АD = 1/2, получаем:
MN = 1/5*АD = 1/5*20 = 4