На стороне BC треугольника ABC взята точка A₁ так, что BA₁:A₁C=2:1. Медиана СС₁ пересекает отрезок AA₁ в  точке P. Найдите AP, если известно, что AA₁=8.

на мой взгляд, данную задачу проще решать векторным методом
введем следующие обозначения:
а - вектор ВС
b - вектор BA
тогда получаем следующие соотношения:
вектор СС₁ = b/2 - a
вектор AA₁ = 2/3*a - b
пусть AP/AA₁ = x, CP/CC₁ = y, тогда:
вектор ВР = вектор ВС + вектор СР = а + (b/2 - a)*у
с другой стороны:
вектор ВР = вектор ВА + вектор АР = b + (2/3*a - b)*x
получаем соотношение:
а + (b/2 - a)*у = b + (2/3*a - b)*x
а*(1 - у - 2/3*x) = b*(1 - x - y/2)
т.к вектора а и b - не  коллинеарны (т.е не параллельные), получаем соотношение:
1 - у - 2/3*x = 0
1 - x - y/2 = 0
домножаем второе уравнение на 2 и вычитаем из первого, получаем:
(1 - у - 2/3*x) - (2 - 2x - y) = 0
2x - 2/3*x = 1
4/3*x = 1
x = 3/4
Ответ:
AP = x*AA₁ = 3/4*8 = 6