Поясните пожалуйста один момент в математической задачке?
Почему косинус равен 1-sinA? Ведь основное тригонометрическое тождество: sin^2+cos^2=1.

А надо ли так усложнять решение. Из известных соотношений, найти гипотенузу, которая и будет равна 20. А дальше Пифагор,- 20 в квадрате минус 12 в той же степени, и после простого извлечения корня, получаем  величину,- 16.Тригонометрию, вместе с логарифмированием, лучше оставлять в покое...)
                                                                              

Почему? Благодаря реформе образования!
Этот самый "321-й апостол" есть продукт какой системы образования? Правильно, болонской. А для чего нам ея внедряли? А для того, чтобы (чуть не сказал - мозг...) моСК "жертв" этой самой системы низвести до уровня болонок. Которым ум нашего дворового Кабыздоха - даже и не снится. А на кой? Чтобы лизать ручки хозяев да выпрашивать подачки - ум не нужон...
Впрочем, в сторону лирику - вернёмся к математике.
Первое, что "дореформенные" школяры (причём даже не учили) понимали в тригонометрии - это то, что синус (как проекция единичного вектора на вертикальную ось) и косинус (как проекция ЕВ на горизонтальную) вместе с единичным вектором составляли тот самый пифагоров треугольник. У которого квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
И от понимания этого "танцует" вся тригонометрия. Любые сложнейшие тригонометрические преобразования можно "разобрать" на элементарные составляющие, если понимать, откуда "ноги растут" у синусов и косинусов.
Если - ПОНИМАТЬ. А не зазубрить...
А у нашего "пофигора" уже на старте - грубый ляп: сумма катетов равна гипотенузе. Пифагор в гробу пере... Впрочем, он сейчас уже даже не вентиллятор напоминает, скорее - турбину воздушного лайнера...
Решение задачки:
Синус А = 3/5, квадрат синуса = 9/25, отсюда квадрат косинуса А = 16/25, косинус А = 4/5...
Числители в синусе и косинусе - ничего не напоминают? Ладно, "добьём" по тригонометрическим формулам...
АС = 12, АВ = АС / косинус А = 12 / 4/5 = 15;
ВС = АС х синус А = 15 / 3/5 = 9.
А теперь выбросим из головы тригонометрию и вспомним "Пифагоровы штаны". Пифагор знаменитую теорему доказывал исходя из практики гарпедонаптов (египетских "натягивателей верёвок"), которые строили прямой угол с помощью верёвки, разделённой метками на 12 равных отрезков: если три отрезка идут по одной стороне угла, четыре - по другой, а пять - по диагонали, то угол прямой. И как раз треугольник со сторонами 3, 4 и 5 - самый маленький из пифагорейских.
Величина синуса А (3/5) уже сама по себе показывает нам тот самый Пифагоров треугольник, так что косинус можно и не задумываясь найти из тех же "3, 4, 5": косинус А = 4/5.
Длина стороны АС кратна катетам Пифагорова треугольника (12 = 3 х 4), причём обоим. Но поскольку искомый катет ВС относится к диагонали АС как 3 к 5 (синус А = 3/5), то известный катет АС отностися к то же диагонали как 4 к 5. Елементарно делим длину АС на 4 и умножаем полученный результат на 3 - сторона ВС равна 9.
ВСЁ!!!

Египетский треугольник
Пропорции сторон 3:4:5 (в этом конкретном случае 15, 12, 9)
Откуда "отличник" 18 и 30 нарыл - его личное дело. И дело учителки, которая ставит отметки не за знания, а по личным привязанностям
Тупо, но 12+18 =30
Уже из одного этого следует, что треугольник не прямоугольный, а вырожденный
Короче всего решать так:
Известно отношение неизвестного катета к гипотенузе и известен один катет
По Пифагору
(3x)^2 + 12^2 = (5x)^2
x=3
Неизвестный катет 9
Гипотенуза 12

Наверняка приведено решение задачи на сайте znanija.com. Я знаком с этим сайтом, бывал там, даже решал. Просто эту задачу решал неграмотный человек, хоть и записан в категории "отличник", или просто-напросто ошибся. Ведь отличники тоже ошибаются, даже я сам не раз ошибался.
Разумеется нужно пользоваться основным тригонометрическим тождеством: sin^2+cos^2=1.
И конечно cos(A)=√(1-(3/5)^2)=4/5. Отсюда следует, что гипотенуза равна 12/(4/5)=15,
а ВС=15*(3/5)=9.

Это  неверное решение, хотя бы потому, что АС+ВС=АВ. А в треугольнике такого быть не может. Так как неравенство треугольника гласит, что любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон. А у Вас получилось равно, то есть все три точки А, В и С лежат на одной прямой. Это первое.
Второе. Конечно, нужно пользоваться основным тригонометрическим тождеством. Тогда cosA=((1-(3/5)^2)^(1/2)=(1-9/25)^(1/2)=4/5. Отсюда находим АВ=АС/cosA=12/(4/5)=12*(5/4)=15. Но у СВ находим, используя теорему Пифагора: СВ=(АВ^2-AC^2)^(1/2)=(15^2-12^2)^(1/2)=(225-144)^(1/2)=81^(1/2)=9.

Автор вопроса совершенно правильно указал на ошибку в решении задачи. Поэтому нужно решать ее по формуле, которая указана автором. Я не пытался делать вычисления, но кажется, что правильный вариант ответа будет 9. Гипотенуза 15. Проверим по известной теореме 12х12+9х9=15х15.