Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.
Некто покупает 40 мер пшеницы, 24 ячменя и 20 овса за 15 фунтов 12 шиллингов. Затем он производит вторую закупку тех же сортов в 26 мер пшеницы, 30 ячменя и 50 овса за 16 фунтов. Наконец, он делает третью закупку тех же сортов в 24 меры пшеницы, 120 ячменя и 100 овса за 34 фунта. Спрашивается цена меры каждого рода зерновых.
(Никольский. Алгебра. 8 класс. № 990)

1) Давайте первым действием переведём всё в шиллинги, чтобы было поменьше мороки с дробными величинами. Как известно, в одном фунте двадцать шиллингов.
Первая покупка: 15 фунтов 12 шиллингов = (15 * 20 + 12) шиллингов = 312 шиллингов.
Вторая покупка: 16 фунтов = (16 * 20) шиллингов = 320 шиллингов.
Третья покупка: 34 фунта = (34 * 20) шиллингов = 680 шиллингов.
2) Теперь давайте обозначим цену одной меры пшеницы буквой x, цену одной меры ячменя — буквой y, а цену одной меры овса — буквой z. Составляется система из трёх уравнений с тремя неизвестными.
1-е ур-е: 40x + 24y + 20z = 312;
2-е ур-е: 26x + 30y + 50z = 320;
3-е ур-е: 24x + 120y + 100z = 680.
3) Как решать такую систему?
Я хотел бы применить способ, о котором сам узнал не так давно. Можно выразить одну из переменных из какого-либо одного уравнения через другие две переменные. А затем подставить это выражение в два оставшихся уравнения.
Какую переменную в нашем случае удобнее выразить? По мне, так это z, поскольку в третьем уравнении перед z стоит коэффициент 100, а на число сто в десятичной системе очень удобно делить.
24x + 120y + 100z = 680,
откуда:
100z = 680 – 24x – 120y;
z = 0,01(680 – 24x – 120y) = 6,8 – 0,24x – 1,2y.
4) Подставим найденное выражение для зета в первое и во второе уравнения. Получим систему уравнений теперь уже только с двумя неизвестными. Вот она:
40x + 24y + 20(6,8 – 0,24x – 1,2y) = 312;
26x + 30y + 50(6,8 – 0,24x – 1,2y) = 320.
5) Давайте поработаем по отдельности над каждым уравнением. Сначала первое.
40x + 24y + 136 – 4,8x – 24y = 312;
40x – 4,8x = 312 – 136;
35,2x = 176;
x = 5 — это цена одной меры пшеницы.
Как видите, нам повезло, и игреки взаимно уничтожились. Поэтому мы смогли найти икс.
6) Теперь второе уравнение.
26x + 30y + 50(6,8 – 0,24x – 1,2y) = 320;
26x + 30y + 340 – 12x – 60y = 320;
14x – 30y = –20.
Тут мы можем подставить вместо икса значение 5, которое мы нашли в пункте 5 моего решения.
14 * 5 – 30y = –20;
30y = 14 * 5 + 20;
30y = 70 + 20;
30y = 90;
y = 90 : 30;
y = 3 — это цена одной меры ячменя.
7) Остаётся лишь подставить найденные значения икса и игрека (соответственно 5 и 3) в выражение для зета и найти зет.
z = 6,8 – 0,24x – 1,2y = 6,8 – 0,24 * 5 – 1,2 * 3 = 6,8 – 1,2 – 3,6 = 6,8 – 4,8 = 2. Это цена одной меры овса.
Итак, единственная тройка решений: x = 5; y = 3; z = 2.
Ответ: пшеница стоила 5 шиллингов за меру, ячмень — 3 шиллинга и, наконец, овёс — 2 шиллинга за меру.
                                                                              

Тут линейная система из 3 уравнений с 3 неизвестными, ничего сложного.
{ 40*П + 24*Я + 20*О = 15 ф 12 ш
{ 26*П + 30*Я + 50*О = 16 ф
{ 24*П + 120*Я + 100*О = 34 ф
Единственная сложность - выяснить, сколько шиллингов в 1 фунте. Я выяснил - 1 фунт = 20 шиллингов.
Поэтому 15 фунтов 12 шиллингов = 15 12/20 фунта = 15 60/100 = 15,6 фунта.
Умножаем 1 уравнение на 10 и получаем систему:
{ 400*П + 240*Я + 200*О = 156
{ 26*П + 30*Я + 50*О = 16
{ 24*П + 120*Я + 100*О = 34
Первое уравнение можно сократить на 4, второе и третье уравнения можно сократить на 2:
{ 100*П + 60*Я + 50*О = 39
{ 13*П + 15*Я + 25*О = 8
{ 12*П + 60*Я + 50*О = 17
И первого уравнения вычитаем третье уравнение и получаем:
100*П - 12*П = 39 - 17
88*П = 22
П = 22/88 = 1/4 = 0,25 фунта = 0,25*20 = 5 шиллингов - столько стоит 1 мера Пшеницы.
Подставляем в первое и второе уравнения.
{ 100*0,25 + 60*Я + 50*О = 39
{ 13*0,25 + 15*Я + 25*О = 8
Вычисляем:
{ 60*Я + 50*О = 39 - 25 = 14
{ 15*Я + 25*О = 8 - 3,25 = 4,75
Умножаем второе уравнение на -2:
{ 60*Я + 50*О = 14
{ -30*Я - 50*О = -9,5
Складываем уравнения:
30*Я = 4,5
Я = 4,5/30 = 0,15 фунта = 0,15*20 = 3 шиллинга - столько стоит 1 мера Ячменя.
Подставляем в первое уравнение:
60*0,15 + 50*О = 14
50*О = 14 - 9 = 5
О = 5/50 = 0,1 фунта = 0,1*20 = 2 шиллинга - только стоит 1 мера Овса.