Решите неравенство: (4x-7)·log ... (3x-5) ≥ 0 (степень логарифма см.картинку)

Начинаем с области определения: логарифмируемое выражение должно быть > 0
3x-5 > 0 => x > 5/3
Основание логарифма должно быть > 0 и ≠ 1
x² - 4x + 5 > 0
D = 16 - 20 = -4 < 0 - Нет корней, ветви вверх => положительна для любого х
x² - 4x + 5 ≠ 1
x² - 4x + 4 ≠ 0
x ≠ 2
Получаем обл. определения: x > 5/3 и x ≠ 2 или х ∈ (5/3; 2) ⋃ (2; +∞)
Теперь исследуем логарифмическую функцию отдельно. Возрастать или убывать функция будет зависеть от того больше или меньше 1 основание логарифма.
Выясним когда основание больше 1:
x² - 4x + 5 > 1
x² - 4x + 4 > 0
(x-2)² > 0
Выполняется для любого х ≠ 2
Соответсвенно в области определения функция данного логарифма будет возрастающей (основание всегда a > 1). И тогда logₐ (3x-5) ≤ 0, когда (3x-5)≤1 и logₐ (3x-5) ≥ 0, когда (3x-5)≥1
Ну а теперь выражение будет ≥ 0, когда оба множителя ≥0 или оба множителя ≤0
Разберем отдельно случаи, учитывая анализ данной логарифмической функции
4х-7 ≥ 0 ...... и ...... 3х-5 ≥ 1
4х ≥ 7 ......... и ...... 3х ≥ 6
х ≥ 7/4 ......... и ......х ≥ 2
Учитывая область определения получаем х > 2
Аналогично:
4х-7 ≤ 0 ...... и ...... 3х-5 ≤ 1
4х ≤ 7 ......... и ...... 3х ≤ 6
х ≤ 7/4 ......... и ......х ≤ 2
Учитывая область определения, так как 5/3 < 7/4 получаем х ∈ (5/3; 7/4]
И итоговым результатом будет:
Ответ: х ∈ (5/3; 7/4] ⋃ (2; +∞)