Яблоко очистили от кожуры ножом. Следует считать яблоко шаром, а ширину срезаемой кожуры равной 1/12 длине большой окружности.   

то есть, ориентируясь на рисунок Мефодия, угол АОС  30 градусов = pi/6.
Для простоты трудов можно считать только половину яблока, процент кожуры будет тот же.
Получаем два усечённых конуса и один неусечённый. У нижнего усеченного конуса угол наклона образующей к основанию 75 градусов, у не усечённого - 15 градусов, у усечённого, который посерёдке 45 градусов.
R - радиус шара и основания нижнего усечённого конуса
Длины образующих у всех конусов равны L = 2*R sin(pi/12)
Радиусы у верхнего основания нижнего конуса и нижнего основания второго усечённого конуса (то, что на рисунке Мефодия соответствует букве С)
r1 = R - L*cos(5pi/12) = R*(1 - 2sin^2(pi/12))= R cos(pi/6)
Радиус неусечённого конуса и верхнего основания усечённого конуса, который посредине,
r2 = r1 - L*cos(pi/4) = R(cos(pi/6) - 2 sin(pi/12)cos(pi/4))= R sin(pi/6)
Высота нижнего усечённого конуса h1 = L * sin(5pi/12)= R sin(pi/6)
Второго усечённого конуса h2=L * sin(pi/4) = R*(cos(pi/6)-cos(pi/3))
Неусечённого конуса h3 = L*sin(pi/12)=2*R*sin^2(pi/12)=R(1 - cos(pi/6))
В объёме полушара (2pi R^3/3) и в объёме конусов присутствует коэффициент pi/3, на него можно сократить
В итоге
(V1 + V2 + V3)/2R^3, где
V1 = h1 * (R^2 + r1^2 + R*r1) =R^3 sin(pi/6)* (1 + cos^2(pi/6)+ cos(pi/6))=(7+2SQRT(3))R^3/8
V2 = h2 * (r1^2+r2^2 + r1*r2)=R^3 (cos(pi/6)-cos(pi/3))(cos^2(pi/6)+sin^2(pi/6)+ cos(pi/6)sin(pi/6))=R^3 *0.125(sqrt(3)- 1)(4+sqrt(3))=0.125R^3 (3sqrt(3)-1)
V3=h3 r2^2 = R^3 (1 - cos(pi/6)) sin^2(pi/6)=0,125R^3(2-sqrt(3))
V1 + V2 + V3= 0.125R^3(7+2sqrt(3)+3sqrt(3) - 1 + 2 - sqrt(3))= R^3(1 + sqrt(3)/2)
Это оставшаяся часть, Срезанная 1 - sqrt(3)/2
Однако, доля 0.5(1 - sqrt(3)/2)=6,7%, если я нигде не наврал
                                                                              

Попробую.
На рисунке показано разбиение поверхности шара на 6 полос. Части 1 и 1 у полюсов, части 2 и 2 ниже, 3 и 3 на экваторе.
Прямая, соединяющая полюса - это развернутый угол. Ширина полос одинаковая, значит, и углы одинаковые. 180/6 = 30 гр.
6 углов по 30 градусов показано на рисунке. В частности, AOB = 30 градусов, AOD = 60 градусов.
Сначала найдем объем частей 1 - это настоящие шаровые сегменты.
Угол AOD = 60 гр., AO = OD = AD = OE = R, AM = R/2, OM = R*√3/2;
h = ME = R - R*√3/2 = R/2*(2-√3)
Объем сегмента AED:
V(1) = pi/3*h^2*(3R - h) = pi/3*R^2/4*(2-√3)^2*(3R-R*(2-√3)/2) = pi/3*R^3/8*(7-4√3)*(6-2+√3)
V(1) = R^3/24*pi*(7-4√3)(4+√3) = R^3/24*pi*(28-16√3+7√3-4*3) = R^3/24*pi*(16-9√3)
Теперь части 2 и 3.
Длина хорды АС: AC^2 = OA^2 + OB^2 - 2*OA*OB*cos AOB = R^2 + R^2 - 2R*R*√3/2 = R^2*(2-√3)
AC = R*√(2-√3)
Высота треугольника АОС: OK^2 = OA^2 - (AC/2)^2 = R^2 - AC^2/4 = R^2 - R^2*(2-√3)/4 = R^2/4*(4-2+√3) = R^2/4*(2+√3)
OK = R/2*√(2+√3)
Высота сегмента KB = OB - OK = R - R*√(2+√3)/2 = R/2*(2-√(2+√3))
Площадь сегмента ABC S(ABC) = R^2/2*(pi*AOB/180 - sin AOB) = R^2/2*(pi/6 - 1/2) = R^2/12*(pi-3)
Чтобы найти объем срезанной полосы кожуры, нужно умножить эту площадь на длину срезанной полосы.
А длина полосы будет разная: для полос 2 она равна L(2) = R*cos 45 = R*√2/2
Для полос 3 длина равна L(3) = R*cos 15 = R/2*√(2+√3)
Соответственно объемы полос будут такие:
V(2) = S(ABC)*L(2) = R^2/12*(pi-3)*R*√2/2 = R^3/24*(pi-3)*√2
V(3) = S(ABC)*L(3) = R^2/12*(pi-3)*R*√(2+√3)/2 = R^3/24*(pi-3)*√(2+√3)
И, наконец, объем всей срезанной кожуры
V(к) = 2*(V(1) + V(2) + V(3)) = 2*(R^3/24*pi*(16-9√3) + R^3/24*(pi-3)*√2 + R^3/24*(pi-3)*√(2+√3))
V(к) = R^3/12*(pi*(16-9√3) + (pi-3)*√2 + (pi-3)*√(2+√3)) ~ 0,1472*R^3
Объем всего шара V(ш) = 4/3*pi*R^3 ~ 4,1888*R^3
Кожура занимает часть V(к)/V(ш) ~ 0,1472/4,1888 ~ 0,035 = 3,5%
Подозреваю, что решил не совсем правильно (а скорее совсем неправильно), но интересно - насколько я близок к ответу?

Дополнительные пояснения к заданному вопросу. На рисунке изображен шар,  имитирующий  форму яблока. Пунктирными линиями показаны границы среза кожуры ножом. Для полной очистки всей поверхности «яблока» необходимо произвести срез шести полос. В сечении срез кожуры представляет собой сегмент, длина дуги которого АВС составляет 1/12 часть большой окружности шара. Тогда отношение объема удаленной части шара, к его первоначальному объему и есть искомая величина.