Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и В, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.

Если я правильно понял условие задачи, то отрезок AB, соединяющий точки пересечения двух окружностей, является хордой - общей хордой для каждой из этих окружностей. При этом образуется четыре разные дуги, но в настоящий момент они нас мало должны интересовать. Гораздо важнее получить представление о месторасположении окружностей и их центров, а также той самой хорды AB.
И первым делом мне хотелось бы рассмотреть меньшую окружность с центром в точке J. Очевидно, что её можно соединить с точками A и B, получив при этом равнобедренный треугольник. Почему так? Но ведь стороны этого треугольника AJ и JB соответствуют радиусу меньшей окружности и не могут быть не равны. А ещё из точки J можно опустить высоту на основание треугольника AB. Как известно, в равнобедренном треугольнике такая высота делит основание пополам.
Если я не ошибаюсь, то такая высота в равнобедренном треугольнике называется серединным перпендикуляром. И каждая точка, расположенная на нём, равноудалена от концов основания треугольника - от точек A и B.
Только ведь у нас в задаче на две окружности одна общая хорда. Стало быть, серединный перпендикуляр, поднятый из середины отрезка AB (из точки H на второй картинке), пройдёт и через центр большой окружности. И тогда точки I и J окажутся на одной прямой - они ведь обе равноудалены от точек A и B.
Лично мне ситуация видится следующим образом - центры обеих окружностей I и J лежат на их совмещённых диаметрах. Они-то и являются серединным перпендикуляром к общей хорде. Они (диаметры и хорда) уже по своему определению перпендикулярны друг другу. Что и требовалось доказать.