Окружности с центрами в точках O₁ и О₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в  отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Проведём внутреннюю общую касательную к этим окружностям AB, касающуюся окружности с центром O₁ в точке A, а окружности с центром О₂ в точке B.
Прямая O₁О₂ пересекает прямую AB в точке C.
Рассмотрим треугольники O₁AC и O₂BC
углы O₁AC и O₂BC прямые, как углы между касательной к окружности и радиусом проведённым в точку касания.
∠ACO₁ = ∠BCO₂ , как вертикальные углы при пересечении двух прямых.
Оба треугольника прямоугольные, следовательно, ∠AO₁C = ∠ВО₂С
треугольники O₁AC и O₂BC подобны, поскольку все углы одного треугольника равны всем углам другого треугольника.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон, лежащих напротив одинаковых углов.
O₁A:О₂B = O₁C:O₂C
если, по условию задачи, O₁A:О₂B = m:n, то и  O₁C:O₂C = m:n, что и требовалось доказать.