Главное меню

Как решить: Основание прямой треугольной призмы – ΔАВС, АВ=ВС=10, АС=16?

Автор ZadaSIK, Март 13, 2024, 20:45

« назад - далее »

ZadaSIK

Основание прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ – треугольник АВС, в котором АВ=ВС=10, АС=16. Боковое ребро призмы равно 12. На ребре ВВ₁ отмечена точка Р так, что РВ₁=3РВ.
а) Докажите, что основания высот треугольников АСР и АСВ₁, проведенных к стороне АС, совпадают.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями АСР и АСС₁.

Стрым

а) Треугольник в основании призмы - равнобедренный. И поскольку призма прямая, то боковые грани, примыкающие к сторонам основания АВ и АС, - равные прямоугольники. Это значит, что АР = СР, поэтому треугольник АРС тоже равнобедренный. Как и треугольник АВ₁С. А в равнобедренном треугольнике высота совпадает с медианой. Поскольку основание у этих двух треугольников общее (АС), то и высоты их, они же медианы, приходят в одну и ту же точку.
б) Тангенс угла между плоскостями АСР и АСС₁ считается едва ли не в уме: это угол между высотой треугольника АРВ, проведённой к АС, и боковой гранью призмы, которая растёт из этой стороны. Если спроецировать точку Р на эту же грань, то она будет находиться на расстоянии 3 см от стороны АС, тем самым искомый тангенс равен отношению высоты треугольника АВС, проведённая из точки В (она вычисляется из теоремы Пифагора - треугольник, напомню, равнобедренный - и равна 6, к РВ (3), то есть 2.