В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно

Первым делом нарисуйте эту трапецию. Это вообше полезное дело - нарисовать рисунок, соответствующий задачке.
Первым делом рассмотрим ∆АВС. Он равнобедренный, потому что AD||BC и потому что АС - биссетриса. Значит, ∠CAD = ∠ВАС, а ∠ACD = ∠BCA как внутренние накрест лежащие. Тем самым в ∆АВС углы при основании АС равны друг другу, что и доказывает его равнобедренность. Значит, АВ=ВС.
Теперь опустите перпендикуляр из вершины В на основание AD. Пусть он пересекает основание AD в точке К. Очевидно, что ∆АКВ - прямоугольный и тоже равнобедренный, поскольку ∠А равен 45 градусам. А значит, АК = АВ/корень из 2 = 11. До кучи тут ещё KD=ВС, сами догадайтесь почему.
Так что для AD у нас найдены оба куска - и АК, и KD.
Собсно, всё.
                                                                              

Добавлю рисунок. Без рисунка решать геометрические задачи сложно, а порой даже невозможно.
АС - биссектриса угла ∠ВАС, значит, ∠ВАС=∠САD=45/2=22,5°�.
Основания ВС и АD - параллельные прямые, а АС - их секущая. ∠САD и ∠ВСА являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей, а значит, они равны ∠САD=∠ВСА=∠ВАС. Так как в треугольнике АВС два угла равны, то он - равнобедренный, значит АВ=ВС=10√2.
Проведём высоту ВН, получим прямоугольный треугольник АНВ, у которого ∠ВНА=90°, ∠ВАН=45°, тогда ∠АВН=180-90-45=45°. Это значит, что треугольник АНВ равнобедренный, АН=ВН. По теореме Пифагора:
АН²+ВН²=АВ²
2ВН²=(10√2)²
2ВН²=200
ВН²=100
ВН=10
В прямоугольнике НВСD сторона ВН=СD=10.
Далее рассмотрим прямоугольный треугольник ВСD. ВС=10√2, СD=10. По теореме Пифагора:
ВD²=ВС²+СD²
ВD²=(10√2)²+10²=300
BD=√300=√(100*3)=10√�3.
Ответ: 10√3