Остроугольный треугольник АВС вписан в окружность с центром О. ВН – высота треугольника.
а) Докажите, что углы АВН и ОВС равны.
б) Найдите высоту ВН, если АВ=24, ВС=27, ВН=ВО.

Проведём радиусы OB и ОС окружности, в которую вписан данный треугольник.
В прямоугольном треугольнике АВН угол ВАН совпадает с углом ВАС, вписанным в окружность и равным у/2 - половине угловой величины дуги ВС, на которую он опирается. Значит, второй острый угол АВН прямоугольного треугольника АВН равен
90°-у/2.
В равнобедренном треугольнике ОВС угол ВОС центральный, он равен угловой величине у дуги ВС, на которую он опирается. Следовательно, на каждый из равных углов ОВС и ОСВ при основании равнобедренного треугольника приходится величина
(180°-у)/2 = 90°-у/2.
Таким образом, доказано равенство углов АВН и ОВС.
Проведём из центра О перпендикуляр к стороне ВС. Так как О - центр окружности, описанной около треугольника АВС, этот перпендикуляр является серединным, то есть
BD = BC/2 = 27/2 = 13,5.
Пусть искомая длина отрезка ВН равна х и по условию длина отрезка ВО также равна х. Треугольники АВН и OBD подобны, как прямоугольные, имеющие равные острые углы. Следовательно, можно записать пропорцию:
BO/AB = BH/BD или
х/24 = 13,5/х, откуда
x^2 = 24*13,5,
x^2 = 324,
x = 18.
Ответ: ВН = 18.