Можно ли доказать Бином Ньютона используя простейшие арифметические знаки - плюс, минус, умножить, делить, и естественно степени.

Можно. Более того, формула бинома Ньютона (не сам бином, потому что бином - это лишь одна из разновидностей многочленов. Его как таковой доказывать не надо) выводится с использованием именно сумм, произведений и степеней. Там, конечно, используется такая вещь, как "перестановка" (биномиальные коэффициенты), но эти коэффициенты тоже выражаются через произведения (факториалы).
ДОказывается формула бинома Ньютона методом математичческой индукции, и это доказательство не выходит за рамки средней школы.