В ряду чисел
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,�...,209,209,...,209
каждое число n встречается ровно n раз для всех 1⩽n⩽209. Выберем в этом ряду такое число, слева и справа от которого чисел поровну. Определите это число.

Сколько же всего чисел записано? Имеем арифметическую прогрессию, начиная с 1 элемента
а₁ = 1, каждый последующее количество элементов увеличивается на 1;  d=1, и всего членов прогрессии n=209. последнее количество элементов: a(n) = 209
Посчитаем сумму арифметической прогрессии: S(n) = (a(1)+a(n))•n/2
S(n) = (1+209)•209/2 = 105•209 = 21945 То есть 21945 - чисел записано в ряду
Отнимем от этого числа одно среднее и разделим пополам: (21945-1):2 = 10972 - столько чисел будет слева и справа. А искомое число будет 10973
Теперь найдем такое k, при котором S(k-1)<10973, а S(k) ≥ 10973
{(a(1) + a(k-1))•(k-1)/2 < 10973
{(a(1) + a(k))•(k)/2 ≥ 10973
Заметим, что при a(1)=1 и d=1 => a(n) = n, тогда получим
{(1+k-1)•(k-1)/2 < 10973
{(1+k)•k/2 ≥ 10973
{k•(k-1) < 21946
{k•(k+1) ≥ 21946
Можно аккуратно раскрыть скобки и попытаться решить систему квадратных неравенств. Но проще  понять что решение лежит в районе k² ≈ 21946
Откуда k = 148
Проверяем:
(1+147)•147/2 = 10878 < 10973
Соответсвенно далее будет записано число 148 (148 раз).
А это 10878+148 = 11026 > 10973
Значит 10973 элементом будет записано число 148
Ответ: 148