Уравнение такое:
5^x * 8^((x-1)/x) = 500
Мне удалось его свести к квадратному уравнению:
x^2 - x(4 - log5(2)) + (3 - 2*log5(2)) = 0
Решать такое через дискриминант - себе дороже.
Вопрос: Есть ли более простой способ, не сводя уравнение к этому квадратному?
И второй вопрос. Исходное уравнение имеет один корень: x = -log5 (2).
А квадратное имеет два корня. Почему второй корень не подходит?
Вроде бы никаких ограничений по ОДЗ не должно быть. Или они все же есть, но я их не вижу?

Конечно вы поторопились приводить к общему знаменателю и получать квадратное уравнение.
По ОДЗ ограничение есть, так как х попадается в знаменателе и х ≠ 0, но на результат это не влияет.
Но давайте попорядку.
Есть уравнение 5ᵡ • 8⁽ᵡ⁻¹⁾/ᵡ = 500
Прологарифмируем с основанием пять. Кстати можно и с основанием 2, но пусть будет 5
Получим
log₅(5ᵡ • 8⁽ᵡ⁻¹⁾/ᵡ) = log₅500
log₅5ᵡ + log₅8⁽ᵡ⁻¹⁾/ᵡ) = log₅5³ + log₅2²
x • log₅5 + ((х-1)/х) • log₅2³ = 3 + 2log₅2
x + ((х-1)/х) • 3log₅2 - 3 - 2log₅2 = 0
x - 3 + log₅2 • ((3х-3)/х - 2) = 0
x - 3 + log₅2 • ((х-3)/х) = 0
вынесем (х-3)
(х-3) • ( 1 + log₅2 / х ) = 0
Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0
х = 3
или
1 + log₅2 / х  = 0
х = -log₅2
x = log₅(1/2)
Получили 2 корня
Проверим
х=3
5³ • 8⁽³⁻¹⁾/³ = 125 • 8²/³ = 125 • 2² = 125 • 4 = 500
при х = log₅(1/2)
5ᴸᵒᶢ⁵⁽¹/²⁾ = 1/2
(log₅(1/2) - 1) / log₅(1/2) = 1 - 1 / log₅(1/2) = 1 + 1 / log₅2 = 1 + log₂5
То есть будет 8⁽¹⁺ ᴸᵒᶢ²⁽⁵⁾⁾ = 8 • 8ᴸᵒᶢ²⁽⁵⁾ = 8 • 2³ᴸᵒᶢ²⁽⁵⁾ = 8 • 2ᴸᵒᶢ²⁽¹²⁵⁾ = 8 • 125 = 1000
И получим в итоге (1/2) • 1000 = 500
                                                                              

Я слегка преобразовал ваше исходное уравнение до красивого почти симметричного вида
Дальше несложно видеть, что уравнение имеет один положительный корень равный 3, а второй отрицательный равный -ln2/ln5.
PS Версия исправленная, в первой была опечатка в последней строчке.

О, что я увидела... не решала такие уравнения со времен школы, ну что же, давайте испытывать мозги на прочность
Уравнение (надеюсь, что я правильно поняла все ваши обозначения): 5^x * 8^((x-1)/x) = 500
Вы ошиблись, сказав, что области допустимых значений тут нет, так как х ? 0
Дальше буду писать поэтапно:
Логарифмируем по основанию 5:log5(5x·8(x–1)/x)=log5(125·4)
Сумма логарифмов = логарифм произведения:log5(5x) + log5·8(x–1)/x)=log5125+log54
x+((x–1)/x)log523=3+log522
(x–3) + ((3x–3)/x) – 2)log52=0
(x–3) +( (x–3)/x)·log25=0
(x–3)· (1+(1/x)·log25)=0
x–3=0 или 1+(1/x)log52=0
x=3 или x=–log52
И наконец-то, спустя столько времени мы нашли ответ!
Ответ: 3; log(1/2)
P.S. Надеюсь, что все понятно и мое решение не трудное)

x+((x–1)/x)log523=3+log522
(x–3) + ((3x–3)/x) – 2)log52=0
(x–3) +( (x–3)/x)·log25=0
(x–3)· (1+(1/x)·log25)=0
x–3=0 или 1+(1/x)log52=0
x=3 или x=–log52
О т в е т. 3; log5(1/2)

Я слегка преобразовал ваше исходное уравнение до красивого почти симметричного вида
Дальше несложно видеть, что уравнение имеет один положительный корень равный 3, а второй отрицательный равный -ln2/ln5.