Дима написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Варя вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 55, 74 и 93. Посмотрев на полученные Варей значения, Максим смог точно назвать наибольшее из написанных Димой чисел. Какое это число? Запишите решение и ответ.

Первое число поочередно складывалось с одним из четырех оставшихся. Значит должны были получить четыре суммы. А сумм только три. Значит есть два совпадающих числа.
А сумма двух одинаковых чисел будет четным числом. Но среди сумм только одно четное число: 74.
Значит одинаковые числа: 74:2 = 37.
Итак знаем два числа из пяти: 37 и 37 (причем заметим, что других парных и более чисел быть не может, так как четных сумм больше нет)
Все числа 37 быть не могут, так как должны получить еще суммы 55 и 93
37 в сумме с неким числом должно дать или 55 или 93
Рассмотрим случай: когда
37 + y = 55
y = 55-37 = 18
и 18 + z = 93, то z = 93-18 = 75 и пара 75+37 = 102 - не является суммой из условия;
Вариант не подходит.
Проверим:
37 + х = 93
х = 93 - 37 = 56
Тогда возможно только, что еще
37 + y = 55
y = 55 - 37 = 18
При этом 56 + 18 = 74
То есть: еще 2 числа удовлетворяющие условию 18 и 56
Осталось пятое число, которое с числами 37; 37; 18; 56 даст искомые суммы. Это может быть только еще одно число 37.
Таким образом получили единственно возможный вариант: 18; 37; 37; 37; 56
Максимальное 56
Ответ: 56
                                                                              

Пусть наши числа : а, в, с, п, к. Всего попарных сумм будет: 4+3+2+1=10.
Сумма всех попарных сумм пусть А.
А=4(а+в+с+п+к).
Выпишем комбинации пар:
ав, ас, ап, ак, вс, вп, вк,, сп, ск, пк.
Пусть п=к, заменим:
ав, ас, ап, ап, вс, вп,
вп,сп,сп, пп-7 вариантов, это много, надо 3.
Пусть п=с, заменим:.
ав, ап, , ап, ап, вп, вп
вп, пп, пп, пп--4 варианта, пока., значит сумма 74 может быть представлена двояко.
п=к=с=74/2=37.
37+18=55
37+56=93.
Числа(18,37,37,37,56�)
18+37=55-- три раза
37+37=74--три раза
18+56=74-один раз
37+56=93--,три раза
Ответ:числа 18,37,37,37, 56.
Максимальное число 56.