Как решить задачу при помощи системы рациональных уравнений:
"Если разделить двузначное число на произведение его цифр, то получится в частном 2 и в остатке 5. Если переставить цифры этого числа и полученное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 3. Найдите это число"?
(Никольский. Алгебра. 8 класс. № 556 а)

Поскольку в задаче прямо указывается способ решения, то так и будем решать.
Пусть двузначное число имеет запись "ХY". То есть первая цифра - х, а вторая цифра - y
Тогда двузначное число ХY = 10x + y
по условию:
(10x + y) = 2•x•y + 5 (1)
При перстановке цифр получим YX = 10y + x
по условию:
(10y + x) = 7•(x+y) + 3 (2)
Получилась система из 2 уравнений.
При этом х и y - целое и 1 ≤ х ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 9
Решим систему путем преобразований:
И уравнения (1)
10x + y - 2•x•y - 5 = 0
2x•(5-y) - (5-y) = 0
(5-y)•(2х - 1) = 0
Откуда: y = 5 или х = 1/2 - это не целое, не подходит
Подставим y = 5 в уравнение (2)
10•5 + x = 7•(x+5) + 3
6х = 12
х = 2
Получаем XY = 25
Проверка: 25 = 2•(2•5) + 5
25 = 20 + 5
25 = 25
52 = 7•(2+5) + 3
52 = 49 + 3
52 = 52
Ответ: 25
                                                                              

Пусть двузначное число имеет вид ВА. То есть разряд единиц равен А, а десятков В. Само число в этом случае можно вычислить как 10В+А. Первое условие задачи "если разделить двузначное число на произведение его цифр, то получится в частном 2 и в остатке 5" выразим уравнением:
(10В+А-5)/(А*В)=2
А второе условие - уравнением:
(10А+В-3)/(А+В)=7
Преобразуем второе уравнение, чтобы выразить из него А и подставить в первое:
10В+А-5=2АВ
10А+В-3=7А+7В
3А-6В=3
А-2В=1
А=1+2В
Подставляем:
10В+1+2В-5-2В-4В²=0
4В²-10В+4=0
Уравнение имеет два корня, но только один из них целый. Он равен 2.
Значит В=2. Тогда А=5.
Исходное число 10В+А=25.