У меня возник вопрос. . На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии, кроме того, каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего было сыграно 60 партий. Какое наименьшее количество школьников могло участвовать в этом турнире?

Пускай количество участников (не считая гроссмейстера) равняется х. Тогда количество партий, которые сыграл гроссмейстер, будет не больше х, а количество сыгранных партий между школьниками не больше х * (х - 1)/2.

Отсюда общее количество партий не превышает:

х + х * (х - 1)/2.

Получим следующее неравенство:

х + х * (х - 1)/2 ≥ 60.

При x = 1 получаем неверное неравенство: 1 ≥ 60;

при х = 2 получаем неверное неравенство: 3 ≥ 60 и т. д.;

при х = 10 получаем неверное неравенство: 55 ≥ 60;

при х = 11 получаем верное неравенство: 66 ≥ 60.

Ответ: 11 школьников.