Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?

Представим процесс восхождения в виде арифметической прогрессии (поскольку каждый день высота подъёма менялась на одну и ту же величину). Первый член этой прогрессии равен 1400, разность -100.
Далее воспользуемся формулами суммы первых n членов арифметической прогрессии и n-го члена прогрессии.
S(n)=(a(1)+a(n))*n/2
a(n)=a(1)+d*(n-1)
S(n)=(a(1)+a(1)+d*(n-1))*n/2
Подставим в формулу известные величины.
5000=(2*1400-100*(n-1))*n/2
10000=(2800-100n+100)*n
n²-29n+100=0
Уравнение имеет два корня 4 и 25. Второй корень не подходит по смыслу, потому что 25-й член арифметической прогрессии будет отрицательным. Значит, n=4.
Ответ: альпинисты покорили высоту 5000 м за 4 дня.
                                                                              

Давайте проведём элементарный расчёт.
Остаток высоты после первого дня подъёма:
5000м - 1400м = 3600м,
Остаток высоты после второго дня подъёма:
3600м - 1300м = 2300м,
Остаток высоты после третьего дня подъёма:
2300м - 1200м = 1100м,
Остаток высоты после четвёртого дня подъёма:
1100м - 1100м = 0м = финиш.
Итого:
1400м, 1300м, 1200м, 1100м = четыре дня подъёма до высоты 5000м.
Ответ на задачу: Туристы в общей сложности за четыре дня высоту 5000м.