Расстояние от винтовки до центра мишени составляет S. При этом центр мишени расположен выше уровня винтовки на величину h. Скорость пули равна V. Если прицелиться по линии ствола, пуля не попадет в центр мишени. Под действием силы притяжения, она в процессе полета отклонится и поразит мишень ниже центра. Следовательно, нужно целится в некую воображаемую точку выше центра мишени.  Необходимо, используя исходные данные, в общем виде определить поправку на прицеливание, т. е. – расстояние между точкой прицела и центром мишени. Сопротивлением воздуха пренебречь. 

Вы так и не хотите чётко формулировать задачи. Во-первых, винтовка не точка. И расстояние "от винтовки" неопределённое. Наверное нужно было сказать более определённо "расстояние от выходного конца ствола винтовки". Хотя в данной задаче это не имеет принципиального значения, так как расстояние в любом случае можно отсчитать только от выходного конца ствола. Ну, это так, придирка. А вот следующее замечание более существенное.
Пусть мишень закреплена на вертикальной стене. Обозначим выходной конец ствола винтовки точкой А, и проведём от неё горизонталь до пересечения со стеной, на которой закреплена мишень. Обозначим эту точку В. Центр мишени выше этой точки, обозначим его точкой С. Тогда точки А, В и С образуют прямоугольный треугольник. Вопрос, что имеется в виду под расстоянием от винтовки (выходного конца ствола) до центра мишени? Расстояние АВ, что логично, когда в задачах указывают расстояние до мишени, или всё-таки расстояние АС ("именно до центра мишени")?
Понятно, что целиться надо выше, в некую точку D.
Далее. Что означает выражение "Если прицелиться по линии ствола"?. Целиться стрелок всегда будет "по линии ствола". Но куда направлена эта линия? В точку В (т.е. "линия ствола" означает горизонталь), или в точку С, т.е. по линии от выходного конца ствола винтовки к центру мишени? Хотя на решение задачи эта "линия ствола" и не повлияет, но тем не менее, нужно бы давать более чёткие формулировки, не допускающие различных толкований.
Теперь к самому решению. Примем наиболее логичный вариант, что под расстоянием S имеется в виду всё-таки расстояние АВ. Тогда ВС равно h. Пусть расстояние СD (от центра мишени до точки прицеливания) равно y. Тогда ВD=h+y. Для упрощения записей обозначим это расстояние H, т.е. h+y=Н. Целиться будем в точку D, тогда вектор скорости пули (V) направлен по AD. Разложим его на горизонтальную (Vx) и вертикальную (Vy) составляющие. Очевидно, что Vx=V*S/√(S^2+H^2),
Vy=V*H/√(S^2+H^2). Время полёта пули (t) будет t=S/Vx=S/(V*S/√(S^2+H^2))=√(S^2+H^2)/V.
Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, горизонтальная составляющая скорости пули в процессе полёта не изменяется и остаётся постоянной. А вот вертикальная составляющая (обозначим её Vv) будет изменяться по закону Vv=Vy-gt, а высота пули (Y), относительно горизонтали АВ, будет изменяться по закону Y=Vy*t-gt^2/2, где g - ускорение свободного падения. Естественно, в конце полёта пули, Y=h. Подставляя значение t в закон изменения высоты получим:
V*H/√(S^2+H^2)*√(S^2+H^2)/V-g*(S^2+H^2)/V^2/2=h. После упрощений получаем квадратное уравнение относительно Н: H-(g/2)*(S^2+H^2)/V^2=h, которое удобнее представить в стандартном виде
H^2*(g/(2*V^2)-H+g*S^2/(2*V^2)+h=0, или H^2*-2*V^2*H/g+S^2+2*V^2*h/g=0,
Решая его получаем: H=V^2/g-√((V^2/g)^2-S^2-2*h*V^2/g), и окончательно поправка на прицеливание: y=V^2/g-√((V^2/g)^2-S^2-2*h*V^2/g)-h.
                                                                              

Рассмотрим вариант нестандартного решения задачи.
На рисунке сохранены обозначения, которые предложил  Rafail.
 Пусть АВ = S расстояние от винтовки до вертикальной стены, на которой зафиксирована  мишень. Центр  мишени расположен выше точки В на величину h в точке С. В свою очередь, линия ствола направлена в точку D, выше центра мишени на искомую величину у. В результате получаем прямоугольный треугольник образованный  точками А, В и  D.
Предположим, на пулю не действует сила притяжения Земли. Тогда она преодолеет расстояние АD=√((S²+( h+У)²) за время t=√((S²+( h+У)²)/V. Вообразим, что после удара о стену в точку D, пуля погасила скорость и уже под действием  тяжести в процессе свободного падения достигла до центра мишени в течении времени t. Тогда согласно закону свободного падения у=gt²/2. Подставим значение t в закон изменения высоты:
у=g((S²+( h+У)²)/2V².
Преобразуем и представим в общем виде квадратное уравнение относительно у:
У²- 2У( V²/g – h)+S²+h²=0.
Решая его, получаем поправку на прицеливание:
y=V²/g-h-√((V²/g)²-2hV²/g-S²).