Дан квадрат ABCD (см. рис). В угол BDC вписана окружность ω₁ с центром в точке H и касающаяся отрезков DB и DC в точках M и I соответственно. В угол CBD вписана окружность ω₂ с центром в точке F и касающаяся отрезков DB и BC в точках G и E соответственно. Окружность ω₁ не песекает отрезок BC. Окружность ω₂ не пересекает отрезок DC. Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом в точке L. Найдите градусную меру угла ELI.

перерисую рисунок, чтоб делать дополнительные построения и обозначения.
1) Проведем радиусы HM и HI в окружности ω₁, Получим четырехугольник DMHI у которого один угол 45˚ (диагональ квадрата со стороной образует 45˚), два угла по 90˚ (радиусы перпендикулярны к касательным), а сумма углов четырехугольника = 360˚
Тогда ∠MHI = 360˚ - 90˚- 90˚- 45˚ = 135˚
2) Проведем в окружности ω₁ хорду LM и получим вписанный ∠MLI = ∠MHI/2 = 135˚/2 = 67,5˚. Так как вписанный угол в 2 раза меньше центрального опирающегося на одну дугу.
3) Аналогично проведем радиусы FE и FG в окружности ω₂ и получим ∠GFE = 135˚
4) Аналогично проведем в окружности ω₂ хорду LG и получим вписанный ∠GLE = ∠GFE/2 = 135˚/2 = 67,5˚
5) Проведем касательную LK из точки касания окружностей.
Поскольку  KL и KM - касательные для окружности ω₁ из одной точки, то KL = KM
Аналогично KL и KG - касательные для окружности ω₂ из одной точки, то KL = KG
6) Получили, что в ∆MLG: LK - медиана, так как MK=KG. И медиана LK в 2 раза меньше стороны к которой проведена. А это происходит только в прямоугольном треугольнике с медианой из прямого угла.
Таким образом ∠MLG = 90˚
7) ∠ELI + ∠ILM + ∠MLG + ∠GLE = 360˚
∠ELI + 67,5˚ + 90˚ + 67,5˚ = 360˚
∠ELI = 360˚ - 225˚ = 135˚
Ответ: ∠ELI = 135˚