Ровно в 9:00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 69 км от А, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 12:00. Найдите собственные скорости катеров (в км/ч), если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть собственная скорость каждого катера х км/ч. Тогда скорость катера по течению будет равна (х+2) км/ч, против течения - (х-2) км/ч.
Плот плыл в течение 3 часов, его скорость равна скорости течения реки - 2 км/ч. Всего плот успел проплыть за это время 3 * 2 = 6 км.
Пусть расстояние, которое проплыл второй катер от пункта В до места встречи с первым катером - у км, это расстояние он проплыл со скоростью (х-2) км/ч, за время у/(х-2) ч. Затем второй катер возвращался в пункт В со скоростью (х+2) км/ч, потратив на это у/(х+2) ч. А потом он проплыл ещё 6 км, на которые успел отплыть плот, также со скоростью (х+2) км/ч, потратив на это времени 6/(х+2) км/ч. Всего на весь этот путь у второго катера ушло 3 часа.
Получаем уравнение:
у/(х-2) + у/(х+2) + 6/(х+2) = 3 (1)
Первый катер плыл до встречи со вторым катером со скоростью (х+2) км/ч расстояние (69-у) км. Он потратил на это времени (69-у)/(х+2) ч. За это же время второй катер преодолел расстояние у км со скоростью (х-2) км/ч. Получаем второе уравнение:
(69-у)/(х+2) = у/(х-2) (2)
Подставляем (2) в (1):
(69-у)/(х+2) + у/(х+2) + 6(х+2) = 3
69 + у - у + 6 = 3(х+2)
3х + 6 = 75
3х = 69
х = 23 км/ч
Ответ: собственная скорость катеров равна 23 км/ч.