1/2!+2/3!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!

для n = 1 равенство справедливо, т.к. 1/2 = 1 - 1/2
Предполагаем, что равенство справедливо для n, то есть
1/2!+2/3!+...+(n-1)/n!=1-1/n!
Доказываем, что будет справедливо и равенство из условия
Справа и слева прибавляем n/(n+1)!
Справа условие соблюдено
Слева 1-1/n!+n/(n+1)!
Два последних слагаемых приводим к общему знаменателю
1 + [-(n+1)+n]/(n+1)! = 1-1/(n+1)!