На рисунке изображён шестиугольник, составленный из одинаковых равносторонних треугольников, площадь каждого из которых равна 10.
Найдите площадь закрашенной части.

С детства помню поговорку о том, что спешка необходима только в двух случаях. И ни один из них на мой взгляд не подходит для решения поставленной задачи. Собравшись с мыслями, я попытался оценить её со стороны и пришёл к выводу - нужно действовать методом ЧВК «Вагнер». То есть первым делом отсекам какой-то участок и решаем на нём локальную задачу, а потом переходим к следующему. И для этого я предлагаю следующую картинку, которая непременно поможет нам разобраться в деталях:
S1 = S(abc) = 10С треугольником разобрались и это было не очень сложно. Теперь я предлагаю разобраться с шестиугольником BCDEFG, площадь которого явно равна шести площадям треугольника ∆ABC, то есть равна 60. Но он заштрихован не полностью. Если шестиугольник мысленно разделить на три ромба (BCHG, CDEH и EFGH), то можно заметить, что каждый из них разделён диагональю, с одной стороны от которой половинка заштрихована, а с другой - нет. Следовательно, три половинки оказались заштрихованными и их площадь равна половине шести площадей треугольников.
S2 = S(bcdefg)/2 = 6 * 10 / 2 = 30Пора бы определиться и с третьим треугольником. Только он не так прост, как да предыдущих. Он вписан в шестиугольник CHIJLM, который нельзя назвать гексагоном, потому что он не правильный - не все его стороны равны между собой.
И всё-таки «не так страшен чёрт» - задача решаема. Для вычисления площади мы разделим фигуру на части и обозначим заштрихованные части. Они состоят из четырёх фрагментов - одного треугольника и трёх полу-параллелограммов:
S(dpo) = 10S(chip)/2 = 4 * 10 / 2 = 20S(ijlo)/2 = 4 * 10 / 2 = 20S(cdlm)/2 = 4 * 10 / 2 = 20S(cil) = S(dpo) + S(chip)/2 + S(ijlo)/2 + S(cdlm)/2 = 10 + 20 + 20 + 20 = 70S3 = 70Для получения сумы площадей трёх заштрихованных треугольников осталось лишь просуммировать значения:
S = S1 + S2 + S3 = 10 + 30 + 70 = 110Таким образом окончательные и единственно верный ответ выглядит следующим образом:
S = 110Всё! Удачи на дорогах!
                                                                              

Если внимательно рассмотреть рисунок, то можно уввидеть, что у нас есть два целых маленьких закрашенных треугольника. Далее нужно рассматривать части закрашенных треугольников и увидим, что рядом с неполностью закрашенным треугольником есть другой треугольник, закрашенный неполностью, который вместе с первым сотавит площадь маленького треугольника. Таким образом можно всю закрашенную часть шестиугольника разбить на несколько фигур, каждая из которых по площади равна площади маленького треугольника. Вот что получится:
То есть у нас 11 фигур с площадью 10. Значит, общая площадь закрашенной части 11*10=110.