У Серёжи есть 14 палочек длиной 1, 2, ... , 14 - по одной палочке каждой длины. Серёжа выложил палочками контур квадрата, а оставшиеся палочки отдал Пете. Может ли быть так, что и Петя выложит контур квадрата? (При выкладывании палочки прикладываются концами друг к другу.)

Чтобы выложить квадрат из нескольких палочек этой последовательности, сумма длин этих палочек должна быть кратна 4, и при этом длина стороны квадрата должна являться суммой нескольких чисел от 1 до 14, и сумма эта должна быть получена четырьмя разными способами, причём числами, которые не будут повторяться в области всех четырёх вариантов.
У квадрата четыре стороны, значит, минимальное количество палочек, которые теоретически могут составить квадрат — 4. Но т.к. они все разной длины, значит (опять же пока теоретически), только одна сторона может состоять из одной палочки, а остальные стороны должны состоять из нескольких палочек разной длины, но в своих суммах равных длине той одной палочки, которая равна одной стороне квадрата. Т.е. минимальное число участвующих палочек = 7 (3 стороны по две, одна сторона - одна палочка).
Разберём частный случай. Сложим длину семи кратчайших палочек: 1+2+3+4+5+6+7 = 28.
28 делится на четыре, и при этом результат деления равен палочке максимальной длины из набора. Значит, есть шанс построить квадрат.
Стороны квадрата составятся из таких комбинаций: 6+1, 5+2, 4+3, 7.
Остаются палочки длиной от 8 до 14, отданные Пете. Рассуждаем аналогично.
Сумма длин семи палочек: 8+9+10+11+12+13+14 = 27+23+27 = 77.
77 на четыре не делится. И даже если мы попробуем перекомбинировать два набора палочек так, что в первом случае снова получится подобрать подходящий набор (кратный 4), то во втором наборе всё равно оставшаяся сумма длин не будет кратна четырём. Отбросить какую-нибудь лишнюю палочку, чтобы получить кратность (например, 77-9 = 68), не получится, т.к. выше было показано, что минимальное необходимое количество палочек для построения квадрата — 7 (обязательно минимум две - с трёх сторон, и минимум одна - с четвёртой).
Мой ответ: такого, что Петя выложит контур квадрата, быть не может.
                                                                              

Я начну с конца. Начало уже просмотрели.
105, 91, 78, 66, 55, 45, 36.
для 36 нужно по 9 с каждой стороны.
1 + 8, 2 + 7 и 3 + 6 и 9.
Остались:
4, 5, 10, 11, 12, 13, 14.
Нет не выходит.
Признаю: Ничего у Пети не выйдет.

1+2+...+14=15*7=105-общая длина всех палочек
Пусть Сережа выложил квадрат со стороной х, а Петя со стороной у. Тогда:
4х+4у=105
4(х+у)=105,но 105 нацело на 4 не делится.
Значит Петя не сможет выложить квадрат из остатков спичек.