Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть количество верных ответов будет n, количество неверных ответов будет m, и количество вопросов без ответа будет k
Тогда за правильные ответы ученик получит 7n очков
За неправильные ответы у ученика снимут -9m очков
За вопросы без ответов он получит 0k = 0 очков
И всего вопросов 25 = n + m + k
Составим уравнение (Диафантово)
7n - 9m = 56
Заметим, что 56 делится на 7. Тогда решаем так
9m = 7n - 56
9m = 7(n-8)
слева делится на 9, значит справа делится на 9. 7 на 9 не делится, значит (n-8) делится на 9
Заметим что 0 ≤ n ≤ 24
Возможны  варианты
n = 8 и (8-8) = 0, но тогда m = 0, а по условию m ≥ 1 - не подходит вариант
n = 17 и (17-8) = 9, тогда m = 7 и k = 1 - подходит
n ≥ 26 и (26-8) ≥ 18 - не подходит по ограничению на n
Проверка
7•17 = 119
-9•7 = -63
Итого 119 - 63 = 56
17 + 7 + 1 = 25
Ответ: 17 правильных ответов
                                                                              

При одном неправильном ответе, с ученика списали бы 9 баллов. Он набрал 56 баллов, значит за верные ответы получил бы 65 баллов. Но 65 не кратно 7, значит неправильный ответ был не один.
Тогда получается, за правильные ответы он получил
65+9х , где х-количество неправильных ответов. Методом подбора находим такое значение х, при котором результат будет кратным 7. Получаем ряд чисел при х=х+1: 74, 83, 92, 101, 110,119 и т.д.
119 число, кратное 7
119 / 7 =17 верных ответов дал ученик
(119 - 65) / 9 = 4 неправильных ответа.
4 раза отсутствие ответа.
Ответ -ученик дал 17 правильных ответов