Строительство нового завода стоит 350 млн рублей. Затраты на производство x тысяч единиц продукции на этом заводе равны 0,2х²+х+24 млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх-(0,2х²+х+24). Когда завод будет построен, то фирма каждый год будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции    p=9 тыс рублей за единицу. Каждый следующий год цена продукции будет увеличиваться на 1 тысячу рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?

цена на продукцию завода меняется во времени по закону:
Р = 9 + 1*n = 9 + n (где n - кол-во лет, прошедших с момента постройки Завода)
при этом прибыль Завода, в году n описывается уравнением:
П = рх-(0,2х²+х+24) = (9 + n)*х - (0,2х²+х+24) = (8 + n)*х - 0,2х²-24 
продифференцируем П по х и приравняем производную к 0:
(8 + n) - 0,4х = 0
х = (8 + n)/0.4 = 20 + 2.5n (это оптимальный Объем производства, при котором достигается максимум прибыли в каждом году)
подставляем значение х = 20 + 2.5n в формулу для прибыли П:
П = (8 + n)*х - 0,2х²-24 = (8 + n)*(20 + 2.5n) - 0,2*(20 + 2.5n)² - 24=
= 160 + 20n + 20n + 2,5n² - 0,2(400 + 100n + 6,25n²) - 24 =
= 56 + 20n + 1,25n²
Вычисляем фактическую сумму прибыли завода, в каждом году:
n = 1, П = 77.25
n = 2, П = 101, суммарная прибыль, за 2 года = 178.25
n = 3, П = 127.25, суммарная прибыль, за 3 года = 305.5
n = 4, П = 156, суммарная прибыль, за 4 года = 461.5
как видно из расчетов, суммарная прибыль Завода превысит затраты на строительство завода (350 млн рублей) только в 4-м году
Ответ:
строительство завода окупится за 4 года