-2 == кубический_корень -8 == -8 в степени 1/3 == -8 в степени 2/6 == корень_шестой_степ 64 == 2
Как так получается? В чем ошибка?

Дробная степень определена только при положительном основании, то есть возведение числа (-8) в степень 1/3 не имеет смысла, так как (-8)<0,то есть кубический корень из (-8) тоже. неопределен.
Вот и возникает такая, якобы, "ошибка" в рассуждениях.
А верно так:
-2=-(8^1/3)=-(8^2/6)=-(64^1/6)=-2
                                                                              

Ошибка состоит в том, что вы не придерживаетесь знака в своём рассуждении, который всегда ставится перед числом, если это число отрицательное. Эта ошибка находится в последнем действии перед финальным результатом. То есть -8^2/6 не равно 8^2/6. При возведении числа в квадрат в результате отрицательное число становится положительным, при возведении числа в куб знак числа сохраняется, и дальше это правило справедливо для чётных и нечётных степеней числа. Если в условии задачи сказано, что нужно извлечь кубический корень из (-8), то результат этого действия будет отрицательным (-2). Чтобы последнее выражение было верным (корень 6 степени от числа 64) , тогда исходное число должно быть 8, а не (-8).

Вы намеренно или по ошибке, убрали знак "—" перед радикалом (корень 6-й степени из числа 64), вот у Вас и получилось положительное число 2, не равное изначальному (числу —2). Надо было заключать число —8 в скобки, тогда, в ходе преобразований, могло бы получиться равенство 2=—2. Однако при таких преобразованиях получается выражение (—8)^(2/6), в котором есть запрещённая операция извлечения корня чётной степени из отрицательного действительного числа. Поэтому такое выражение нужно будет сначала упростить, то есть сократить дробную степень (2/6) до степени (1/3). Тогда смело можно будет вычислять полученное выражение и Вы получите снова число  —2. Если же Вы всё-таки захотите вычислить выражение (—8)^(2/6), не сокращая дробь  (2/6), то Вам необходимо будет сначала извлечь корень 6-й степени из числа —8. На множестве действительных чисел эта операция недопустима, однако на множестве комплексных чисел у Вас получится
[((—2)^3)^(1/6)]^2 =[(—2)^(1/2)]^2=—2,
то есть никаких противоречий не возникнет.

Все элементарно, вы после четвертого равно забыли, что весь радикал умножен на "-1", поэтому после пятого равно вы и получили "2".
На будущее знайте, -2=2 только по модулю, т.к. обладает свойством (Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа), всего хорошего!

Доказать не могу, но, по моему представление степени 1/3 как 2/6 работает корректно только для положительных чисел.