Введём новую операцию «зачёркивание» —— удаление из числа любой одной цифры так, чтобы оставшиеся в числе цифры соединились, образовав новое число, не начинающееся с 0. Например, из числа 1023 одной такой операцией можно получить числа 123, 103 и 102.Никита применил не более двух операций зачёркивания к числу 743454765 и получил в результате число, делящееся на 36. Сколько различных чисел мог получить Никита?

Задание по математике для учащихся десятых классов было предложено для решения на олимпиаде. Из условия данной задачи нам известно, что Никита применял метод "вычеркивания", что сделал он всего только две операции, а число, которое получилось можно разделит на тридцать шесть. Знаем мы и то, что получившиеся число не начинается с нуля. Число 36 является произведением 9 на 4. По этой причине неизвестно нам число, которое получилось должно тоже делиться и на девять, и на четыре. В результате использования Никитой метода "зачеркивания" к данному числу, у него получились три числа, которые делятся на тридцать шесть, это 7345476, 7435476 и 7434576. в ответе запишем, что чисел было три, но все они разные.

Во-первых, для начала давайте разберёмся, мог ли Никита вообще ничего не зачёркивать. Сказано, что он сделал не более двух вычёркиваний, а ноль не больше, чем два. Но... становится очевидно, что зачёркивания были. 36 = 9 * 4, а 9 и 4 суть два взаимно простых числа. Чтобы число делилось на 36, оно должно делиться и на 9, и на 4. А для делимости без остатка на 4 должно делиться на 4 число, записанное двумя последними цифрами нашего рассматриваемого числа, в том же порядке. Однако 65 на 4 не делится. Значит, и 743454765 тоже не делится. Следовательно, зачёркивание или зачёркивания всё-таки были.
Далее я определил, что Никита обязательно должен был зачеркнуть финальную цифру 5. Если оставить эту пятёрку, то в итоге так и останется число, которое оканчивается на 5. А все такие числа не делятся на 4 (ведь для делимости нацело на 4 последняя цифра должна быть чётной). Значит, конечную пятёрку надо обязательно зачеркнуть — при первом ли вычерке, при втором ли, порядок не имеет значения, важен факт её удаления.
Затем я нашёл, что всё-таки вычерков было два. Конечную пятёрочку надо убрать — это факт. Допустим, что вычерк был только один. Тогда останется число 74345476. На 4 оно делится (ибо 76 делится на 4). Но надо ещё, чтобы делилось на 9. Для этого найдём сумму цифр: 7 + 4 + 3 + 4 + 5 + 4 + 7 + 6 = 40. Увы, но 40 на 9 не делится. Значит, рассуждая логически, мы приходим к выводу, что зачёркиваний было два.
Вывод: помимо финальной 5, надо ещё одну циферку удалить. Какую? Надо это сделать так, чтобы оставшееся число (= сумма его цифр) делилось на 9. А у нас пока что, после удаления пятёрки, сумма 40.
40 – m = 9k; 40 – 9k = m. Система неравенств: 40 – 9k ≥ 0; 40 – 9k ≤ 9. Отсюда: 1) 9k ≤ 40 и 2) 9k ≥ 31. Или: 1) k ≤ 4⁴/₉ и 2) k ≥ 3⁴/₉. Но поскольку k — целое число, то остаётся лишь один вариант: k = 4. Отсюда получаем: m = 40 – 9k = 40 – 9 * 4 = 40 – 36 = 4.
Теперь мы окончательно определили, что помимо конечной пятёрки Никита должен зачеркнуть ещё одну четвёрку.
Но четвёрок у нас три. Никита мог зачеркнуть любую из них.
Значит, получается три варианта для окончательного числа.
Это числа 7345476, 7435476 и 7434576.
Ответ: три различных числа.