Описывая, что произошло с ним на торгах, Смит сказал, что за полчаса он спустил половину своих денег и у него осталось столько же центов, сколько было первоначально долларов, и ровно в двое меньше долларов, чем было первоначально центов.
Сколько денег Смит истратил на торгах?

Обозначим первоначальное количество долларов D и количество центов С. Будем считать деньги Смита в центах. Тогда у него первоначально было D*100+C центов. А после торгов осталось (C/2)*100+D (или С*50+D) центов.
Получаем уравнение: D*100+C=2*(С*50+D), 100*D-2*D=100*C-C, 98*D=99*C. Поскольку 98 и 99 взаимно простые числа, то решение единственное D=99, C=98. Т.е. первоначально было 9998 центов, а осталось 4999 центов. Или было $99,98, осталось $49,99.
                                                                              

Я решал немного по другому, нежели Rafail [80.5K]. Я не стал переводить всё в центы, а решал в долларах тем более, что цент - это сотая часть доллара.
Первоначальное количество долларов я обозначил за Х, а количество центов за У.
Изначально у Смита было ( Х + У/100 ), а стало ( У/2 + Х/100 ). Зная, что количество денег у Смита уменьшилось вдвое, можно составить уравнение:
( У/2 + Х/100 ) = ( Х + У/100 ) / 2
У/2 + Х/100 = Х/2 + У/200
Х/2 - Х/100 = У/2 - У/200
Х( 50 - 1 )/100 = У( 100 - 1 )/200
2 * 49 * Х = У * 99
98Х = 99У
Равенство верно при Х = 99, а У = 98 т.е. первоначально у Смита было 99,98 долларов, из которых он истратил половину или
99,98 / 2 = 49,99 долларов.