Пусть S(n) — сумма цифр натурального числа n. Решите уравнение n + 4S(n) = 2025. Если решений несколько, в ответе укажите наименьшее из них.

Поиск наименьшего дает хорошую подсказку для решения.
Для начало поймем, что n - не может быть пятизначным, так как в сумме получается четырёхзначное число. То есть число менее 5 знаков.
Так же число не может иметь 3 знаков так, как максимальное число 999 имеет максимальное значение для трёхзначных 4S(999) = 4•27 = 108 и их сумма 999+108 = 1107 < 2025
То есть число n - четырех значное.
Так же отметим, что число n в таком решении будет минимальным, если будет максимальная сумма 4S(n). А так как первая значащая цифра не превосходит 2, то максимальная сумма будет у 1999. Тогда 4S не более 4S(1999) = 4•28 = 112
И тогда n не менее 2025-112 = 1913
Далее покажем что n должно делится на 9.
Предположим что оно не делится на 9
тогда n имеет остаток от деления на 9 равный m, 0<m<9  (n = 9k + m)
Но тогда сумма цифр  S(n) будет иметь остаток от деления на 9 равный m (S(n) = 9t + m)
Тогда n+4S(n) = 9(k+4t) + 5m должно делится на 9, а это невозможно при таких m. Пришли к противоречию.
Учтем что первые 2 цифры 1 и 9 в сумме 10, тогда две оставшиеся цифры должны в сумме дать ещё 8. Итого S(n) = 18. 4S(n) = 4•18 = 72
Тогда n = 2025 - 72 = 1953
Ответ: 1953
                                                                              

Очень красивая и элегантная задача. Позвольте, я попробую предложить свой точный и методичный способ её решения.
В первую очередь надо бы разобраться, сколько цифр может быть в числе n.
Наименьшее пятизначное число — это число 10 000. Но n + 4S(n) в данном случае равно 10 000 + 4 * 1 = 10 004, что превышает 2025. Поэтому не только пятизначным, но и шестизначным и больше наше число быть тем более никак не может.
Следовательно, у нас максимум четырёхзначное число.
Может ли быть трёхзначное? Максимальное трёхзначное число — это 999. Тогда n + 4S(n) = 999 + 4 * (9 + 9 + 9) = 999 + 4 * 27 = 1107. Это меньше, чем 2025. Поэтому трёхзначное (а тем более двузначное) число не проходит.
Значит, число именно четырёхзначное и никак иначе.
Запишем его в виде <abcd>, где a, b, c, d — 1-я, 2-я, 3-я и 4-я цифра нашего числа соответственно. В развёрнутом виде это равно 1000a + 100b + 10c + d.
У нас по условию:
n + 4S(n) = 2025;
1000a + 100b + 10c + d + 4(a + b + c + d) = 2025;
1000a + 100b + 10c + d + 4a + 4b + 4c + 4d = 2025;
1004a + 104b + 14c + 5d = 2025.  (А)
Понятно, что a, b, c, d — или однозначные натуральные числа, или что-то из них может равняться нулю (за исключением ведущей цифры a).
Ясно, что больше 2 цифра a быть не может (3012 уже больше, чем 2025).
Может ли цифра a быть равной 2? Тогда выходит: 2008 + 104b + 14c + 5d = 2025; 104b + 14c + 5d = 17. Единственная возможность для b равна нулю. Тогда выходит 14c + 5d = 17. Для с остаются возможности 0 или 1 (ведь 28 уже превышает 17). Если c равно 0, то остаётся 5d = 17 — не имеет решения среди однозначных! Если c равно 1, то 5d = 3, что тоже неразрешимо в однозначных числах. Итак, цифра a не может быть равна двум.
Но это и не ноль.
Значит, a = 1.
Подставим найденное значение a = 1 в уравнение А. Тогда выходит: 1004 + 104b + 14c + 5d = 2025;
104b + 14c + 5d = 1021.  (Б)
На данном этапе мне помогла удачная максимальная оценка суммы 14c + 5d. Чему максимально может равняться 14c + 5d? Очевидно, максимум равен 19 * 9 = 171 (когда c и d будут девятками). С другой стороны, согласно уравнению Б, 14c + 5d = 1021 – 104b. Получается, что 1021 – 104b ≤ 171. Отсюда: 1021 – 171 ≤ 104b, или 104b ≥ 850, или b ≥ 8,173... Но ведь b — это цифра! Остаётся только одна возможность: b = 9, ведь это единственная цифра, которая больше, чем число 8,173.
Уравнение продолжает упрощаться. Подставим b = 9 в уравнение Б:
936 + 14c + 5d = 1021;
14c + 5d = 1021 – 936;
14c + 5d = 85. (В)
Здесь проще. Поможет теорема о делимости суммы. Сумма 85 — число, которое делится на 5. Второе слагаемое 5d заведомо делится на 5. Чтобы сумма двух слагаемых делилась на m, при условии, что одно слагаемое на m делится гарантированно, обязательно нужно, чтобы на m делилось также и другое слагаемое. Вывод: 1-е слагаемое тоже делится на 5. Но поскольку 14 явно не кратно 5, то кратен 5 должен быть второй сомножитель в первом слагаемом. Только две цифры кратны 5: 0 и 5. Но если c = 0, то получается: 5d = 85, d = 17, но это не однозначное число. Значит, остаётся единственная возможность: c = 5.
Тогда: 14 * 5 + 5d = 85; 70 + 5d = 85; 5d = 85 – 70; 5d = 15; d = 3. Ура, наконец-то мы для d получили решение среди однозначных натуральных чисел.
Мы нашли, таким образом, все четыре цифры нашего числа:
a = 1, b = 9, c = 5, d = 3.
Искомое число равно 1953. Задача решена!

Число п может начинаться либо на 1 , либо на 2.
1) пусть число п начинается на 2,тогда оно имеет вид:
2000+0*100+10в+с,где в и с однозначные числа,то есть :
2000+8+14в+5с=2025
14в+с=17,решения нет
2)пусть число п начинается на 1,тогда:
1000+100а+10в+с+4+4а+4в+4с=
=2025,или:
104а+14в+5с=1021
В этих условиях а=9
Тогда :
14в+5с=85
в=5,с=3
Наше число п=1953
Проверка :
1953+4(1+9+5+3)=1953+72=
=2025
Ответ:1953