В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины  B, в отношении 13:12, считая от точки  B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=10.

Не удивительно, что никто до сих пор не взялся отвечать на этот вопрос. А ведь к нему даже картинка приложена, что случается не так часто. Тем не менее, я поначалу тоже не мог понять, как с таким минимальным объёмом сведений можно что-то сделать в плане решения задачи. Ведь, если бы надо было определиться с описанной окружностью для ∆ABH, было бы всё просто - его гипотенуза лежит на диаметре. Но нас интересует треугольник ∆ABC. Я решил покопаться в своих записях и отыскал кое-что о биссектрисах. При этом для начала слегка повернул треугольник на чертеже, получив следующую картину:
А нашёл я следующие сведения о свойствах биссектрисы треугольника:
Стало быть, можно утверждать следующее:
13 / 12 = BE / EH = AB / AHНо не будем забывать, что это стороны прямоугольного треугольника: AH - один из катетов, а AB - его гипотенуза. В таком случае ещё одна шпаргалочка поможет нам найти выразить значение косинуса угла ∠BAH (он же ∠BAC) через отношение катета к гипотенузе:
Cos(∠BAH) = 12 / 13 = 0,92307692307Не плохо. Только это всё треугольник ∆ABH, а нам нужен ∆ABC, для которого и следует провести описанную окружность. Нам явно не обойтись без третьей шпаргалки. Кстати, я уже использовал её на днях при решении задачи о ромбе с окружностями.
Любопытно. К тому же нам известна сторона BC, которая равна 10. Отыскать бы ещё Sin(∠BAH).
R = BC / 2 Sin(∠BAH)2R = BC / Sin(∠BAH)2R = 10 / Sin(∠BAH)R = 5 / Sin(∠BAH)И здесь самое время вспомнить о свойствах синусов и косинусов:
Sin²(∠BAH) + Cos²(∠BAH) = 1 ⇒Sin²(∠BAH) = 1 - Cos²(∠BAH) = 1 - (12/13)² = 1 - (144/169) = (169-144)/169 = 25/169 ⇒Sin(∠BAH) = √(25/169) = 5/13 = 0,38461538461Теперь нам остаётся лишь подставить полученной значение в выше полученную формулу:
R = 5 / Sin(∠BAH)R = 5 / (5/13) = 13Таким образом можно смело заявить, что правильный ответ должен выглядеть следующим образом:
R = 13