В треугольнике АВС продолжения высоты СС₁ и биссектрисы ВВ₁ пересекают описанную окружность в точках N и М соответственно, ∠АВС=40°, ∠АСВ=85°.
А) Докажите, что ВМ=CN .
Б) Прямые ВС и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 6.

вопрос А:
по условию Задачи, в треугольнике ∆АВС:
∠АВС = 40°, ∠АСВ = 85°, следовательно: ∠ВАС = 180° - 40° - 85° = 55°
∠BNC = ∠ВМС = ∠ВАС = 55° (т.к данные углы опираются на одну и ту же хорду ВС)
в треугольнике ∆ВМС:
∠ВМС = 55° (см. выше)
∠МВС = 1/2*40° = 20° (т.к ВВ₁ - биссектриса)
следовательно: ∠ВСМ = 180° - 20° - 55° = 105°
в треугольнике ∆ВС₁С:
∠СВС₁ = 40° (по условию задачи)
∠ВС₁С = 90° (т.к С₁С - высота)
следовательно: ∠ВСС₁ = 180° - 40° - 90° = 50°
∠ВСС₁ = ∠BMN = 50° (т.к данные углы опираются на одну и ту же хорду ВN)
значит: ∠NМС = ∠BMN + ∠ВМС = 50° + 55° = 105°
таким образом, мы доказали, что:
∠NМС = ∠ВСМ = 105° следовательно, равны хорды, на которые опираются данные углы, т.е: ВМ=CN
вопрос Б:
в треугольнике ∆BDN:
∠NBD = 180° - ∠NМС = 180° - 105° = 75° (т.к углы ∠NBD и ∠NМС опираются на одну и ту же хорду NС, с разных сторон)
∠CBM = ∠CNM = 20° (т.к данные углы опираются на одну и ту же хорду МС)
∠BND = ∠BNC +∠CNM = 55° + 20° = 75°
следовательно:
∠BDN = 180° - ∠BND - ∠NBD = 180° - 75° - 75° = 30°
значит:
BD = ND = ВН / sin(30°) = 6 * 2 = 12
Ответ:
площадь треугольника ∆BDN = 1/2 * ND * ВН = 36