У Егора есть доска 5 × 5 , в каждой клетке которой изначально было написано число 0 . Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1 . Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал число в клетке, в которой оказалась фишка, на 1. После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?

Исходя из задания становится понятно, что номер в клетке показывает сколько раз через эту клетку прошла фишка. При каждом проходе число увеличивалось на 1, а изначально все клетки по нулям.
Следует заметить, что от нижней угловой клетки до верхней угловой 9 клеток или 8 ходов, если не считать начальный ход в 1-ю клетку. Если с начальным ходом, то 9 ходов.
А далее следует понять, что если возвращаться или отклонятся от маршрута. То насколько ходов уклонились на столько ходов надо и вернутся. То есть далее любой маршрут к этим 9 ходам будет добавлять чётное количество ходов. То есть всего проходов (номеров в клетках) будет нечётное количество. Суммируем уже имеющиеся. Получим 116. То есть в последней клетке будет нечётное число.
Хотелось привести обоснование. Но предъявим просто решение в виде рисунка.
Я разбил по шагам. Начальные клетки я отметил бирюзовым, а конечные серым. И провел линии прохода фишки. При каждом проходе увеличиваем на +1. Некоторые клетки проходились за проход 2 раза (туда-обратно).
Сначала прошли все клетки изменив 0 на 1. Потом проход со сменой на 2 и т.д. Клетки которые приняли свое окончательное значение помечал красным, чтоб больше в них не ходить. В результате решения получилось в верхней клетке 5
                                                                               

Егор стартовал с клетки, равной 1 после увеличения о на 1. Далее, он мог пойти, либо горизонтально, либо вертикально, увеличивая число до 2 и так далее. Попасть в то самое, без номера на картинке, поле доски можно лишь из полей с номером 8. Поскольку, в задаче, ее условии, сказано, что в результате перехода, предыдущее число увеличивается на 1, то число, нужное нам, равно 9 (8+1=9).