В хоккейном турнире принимают участие 12 команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?

по просьбе истинных знатоков и почитателей хоккея, приведем математически строгое решение задачи:
в турнире принимало участие 12 команд, каждая команда сыграла 11 матчей, в каждом матче было "разыграно" 2 очка, следовательно общее кол-во очков, набранных всеми командами по итогам турнира составляет:
2*12*11/2 = 132 очка
по результатам турнира, образовалось 2 группы команд - условно назовем их "Лидеры" и "Аутсайдеры"
причем разница в набранных очках между худшей командой из группы "Лидеры" и  лучшей командой из группы "Аутсайдеры" составила Х очков
необходимо найти максимально возможное значение Х
(и мы уже ранее показали, что существует вариант, при котором Х=12)
пусть в группу "Аутсайдеры" попало n команд (1 ⩽ n ⩽ 11)
как уже было показано, минимально возможное кол-во очков, набранных лучшей командой из группы "Аутсайдеры" составляет (n - 1) очков
и минимальная сумма очков, набранных всеми командами из группы "Аутсайдеры" составляет n*(n - 1) очков
соответственно, каждая команда из группы "Лидеры" набрала по крайней мере (Х + n - 1) очков, при этом в группе "Лидеры" (12 - n) команд
следовательно:
минимальная сумма очков, набранных всеми командами из группы "Лидеры" составляет (12 - n)* (Х + n - 1) очков
сложим минимальные значения очков, набранных всеми командами из групп "Лидеры" и "Аутсайдеры", получаем:
n*(n - 1) + (12 - n)* (Х + n - 1) = n² - n + (12 - n)* Х + 13n - n² - 12 =
= (12 - n)* Х + 12n - 12 = (12 - n)* Х + 12(n - 1)
сразу обращаем внимание, что данное выражение возрастает при увеличении Х, т.к (12 - n) ⩾ 1
попробуем подставить в данное выражение значение Х = 13, получаем:
(12 - n)* 13 + 12(n - 1) = 13*12 - 12 - n = 144 - n ⩾ 144 - 11 = 133
(т.к 1 ⩽ n ⩽ 11)
таким образом, мы доказали, следующее:
при Х ⩾ 13 - общая сумма очков, набранных всеми командами будет ⩾ 133
но это невозможно, т.к общая сумма очков всегда = 132
Окончательный ответ:
максимальный разрыв в очках между командами, занявшими соседние места может составлять: 12 очков
                                                                              

рассмотрим следующий вариант:
команда, которая заняла 1-е место - выиграла все матчи и набрала: 11*2 = 22 очка
какое минимально кол-во очков может набрать лучшая команда из оставшихся 11-ти команд?
очевидно - минимальное кол-во очков будет в случае, когда все оставшиеся команды наберут одинаковое кол-во очков, т.е каждая команда выиграет 5 матчей и проиграет также 5 матчей либо все 11 команд все матчи между собой сыграют вничью
при таком варианте, все оставшиеся 11 команд наберут по 5*2 = 10 либо 1*10 = 10 очков
для проверки, подсчитаем общее кол-во очков, которые будут разыграны в матчах 11 команд между собой - общее кол-во очков будет равно:
2*11*10/2 = 110 очков
далее 110 очков необходимо поделить между 11 командами так, чтобы лучшая команда получила минимально возможное кол-во очков, следовательно
лучшая команда должна в любом случае получить как минимум 110/11 = 10 очков (т.к у  оставшихся команд результат должен быть такой же или хуже)
Ответ:
максимальный разрыв в очках может между командами, занявшими соседние места может составлять: 22 - 10 = 12 очков