В игре «Математическая беготня» участвовали девять команд (не обязательно равных по числу участников). В среднем, в каждой команде было 7 человек. После того, как одну команду дисквалифицировали, среднее число участников в оставшихся командах сократилось до 6. Сколько участников было в дисквалифицированной команде?

Даже при условии, что участников в каждой команде разное количество, понимание значения в "среднем" может упрощать решение.
Что такое в среднем в каждой по 7 человек, а всего 9 команд. Это значит что всего участвовало
7•9 = 63 человека.
Когда дисквалифицировали, осталось 8 команд по 6 человек в среднем.
То есть всего участников осталось:
6•8 = 48 человек
Было 63 человека, осталось 48 человек. Сколько дисквалифицировали?
63 - 48 = 15 человек
А поскольку дисквалифицировали только одну команду, то все они были в этой команде.
То есть дисквалифицированная команда состояла из 15 участников.
Ответ: 15 участников
                                                                              

Пусть x - дисквалифицированная команда, y - команды, оставшиеся в игре.
Решаем путем составления системы уравнений:
(x + y)/9 = 7
y/8 = 6
y выразим как y = 6*8 = 48, подставим в первое и найдем x:
(x + 48)/9 = 7
x + 48 = 63
x = 15
Ответ: в дисквалифицированной команде было 15 человек.

А пусть будет во всех 9-ти командах строго по 7 человек. Если убрать одну команду, то так и останется по 7 человек в оставшихся 8-ми командах и среднее останется таким же. Значит, нужно убрать ещё по одному человеку с каждой команды. Среднее упадёт до 6 человек, а убрано будет 7 + 8 = 15 человек. 

Если есть среднее нескольких чисел, то сумма чисел равна произведению этого среднего на количество чисел.
Было 9 команд. А них было тогда :
9*7=63 участника.
Одну команду дисквалифицировали, осталось: 9-1=8 команд.
В восьми командах осталось:
8*6=48 участников.
Значит в той команде которую дисквалификацировали было:
63-48=15 участников
Ответ:15 участников