В классе каждый ученик дружит ровно с шестью другими, и у любых двух учеников есть ровно два общих друга. Сколько учеников в этом классе?

Решала, как говорится, "на пальцах".
Чтобы у любых двух учеников было ровно два общих друга, учеников, как минимум должно быть три человека.
Таким образом, у каждого из этой троицы по два друга уже есть. Теперь каждому из них надо подобрать ещё по четыре друга из других подобных троиц, чтобы довести количество друзей каждого  ровно до шести человек. Стало быть, нам потребуется ещё четыре таких троицы.
Отсюда следует вывод: Для того, чтобы выполнить оба условия задачи, предложенной нам автором вопроса, в классе должно быть пятнадцать (15) учеников.
Для иллюстрации своего ответа прикладываю очень простой рисунок:
                                                                                

Задача конечно проще будет, если есть небольшое знакомство с теорией графов. Но и простые рассуждения тоже могут хорошо помочь.
Ближе к истинным рассуждениям всё же находится Nasos.
Но давайте по рассуждаем.
Друзей будем нумеровать для простоты.
Возьмем, к примеру 2 человек "1" и "2" У них должно быть обязательно два общих друга (пусть "3" и "4") и ещё у каждого по четыре отдельных друга. Получаем, что меньше 12 человек точно быть не может.
Если будем добавлять в группу по 1 человеку, то возможны варианты совместной дружбы. Причем стоить заметить, что дружба может быть и односторонней.
Рассмотрим четыре человека которые дружат между собой, причем двусторонней дружбой.
Для простоты смотрим рисунок
Возьмем любых двух в этой четверке. Поскольку все симметрично, возьмем к примеру "1" и "2"
№1 дружит с "2"; "3" и "4"
№2 дружит с "1"; "3" и "4"
Получается два общих друга "3" и "4"
Аналогично любая пара в этой четверке имеет только по 2 общих друга.
И при этом получилось у каждого по 3 друга всего.
Добавим ещё такую же четверку друзей дружащих между собой.
И соединим взаимной дружбой, соответсвующие номера
Понятно что внутри четверок будет так же только по 2 общих друга
Рассмотрим учеников с не соответствующими номерами из разных четверок
Например "1 черный" и "2 красный". У них будут общие друзья: "2 черный" и "1 красный"
Аналогично у любых не соответственных номерах в четверках будут только по 2 общих друга
А вот у соответствующих номеров "1ч" и "1к" общих друзей не появится.
Но при этом у каждого номера стало по 3+1 другу
Добавляя такие четверки друзей будем добавлять по +1 другу за каждую четверку и все не соответсвующие номера будут иметь только по 2 общих друга.
Но рассмотрим теперь соответсвующие номера соединенные таким образом у четырех четверок
Например: "1 ч"; "1к"; "1з" и "1с" Получается, что они аналогичны дружбе любой четверки.
То есть у "1 ч" и "1 к" только два общих друга "1з" и "1с"
Таким образом получили 16 человек разбитые на четыре четверки. И у любой пары учеников только 2 общих друга. И у каждого ученика ровно 6 друзей.
П.С.
Предлагается в других ответах, где разбивается на тройки понять ошибочность. Возьмите в любой тройке двух человек. Сколько у них общих друзей? Это третий ученик, но он один, а не два.     

Судя по всему, в классе нет общей дружбы между учениками. Все они разбились на группы по три человека, в которых дружат между собой, то есть у двух учеников есть ровно два общих друга. Каждый из этих триад дружит с кем-то одним из других триад. Чтобы у каждого ученика было ровно шесть друзей, этих триад должно быть пять.  Таким образом, получается, что учеников в классе пятнадцать.

Как понимать - "у любых двух учеников есть ровно два общих друга".
Я понимаю это совсем не так, как поняли те, кто решал эту задачу тут до меня.
Возьмём, например, Петю и Колю. И у Пети и у Коли есть два общих друга. Это, например, Гриша и Саша. И не один из этих друзей не совпадает ни с Петей, ни с Колей.
То есть, замкнута на себя не тройка ребят, как это предполагали ранее решавшие, а четвёрка.
В четвёрке каждый имеет по три дружеские связи. Значит, каждому ещё нужны по три независимые связи, то есть ещё три такие же замкнутые четвёрки.
Всего - четыре четырки, две растопырки..., фу-у-у, что-то меня не туда понесло, всего четыре четвёрки, шестнадцать ребят.