В кубе АВСDА₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 12, точки К и L – середины ребер AD и C₁D₁ соответственно, а точка F расположена на ребре ВС так, что СF=3BF.
А) Докажите, что плоскость KLF делит диагональ АС основания ABCD в отношении 2:3, считая от точки А.
Б) Найдите расстояние от точки D₁ до плоскости KLF. 

A. Рассмотрим квадрат ABCD в основании куба. Пусть отрезки KF и AC пересекаются в точке M. Треугольники CFM и AKM подобны с коэффициентом подобия CF:AK=9:6=3:2, следовательно, AM:MC=3:2 и диагональ AC делится плоскостью KLF в отношении 2:3.
В. Построим сечение куба по трём заданным точкам KLF. Здесь P — точка пересечения прямых FK и CD, а Q — точка пересечения прямой PL с прямыми CC1 и DD1, соответственно, S — точка пересечения плоскости KLF с прямой A1D1. Тогда расстояние от точки D1 до плоскости KLF равно высоте пирамиды SLQD1, опущенной из вершины D1. Треугольники PDK и PCF, LQD1 и PQD, а также SQD1 и KQD подобны. Следовательно, PD:PC=DK:CF=2:3.
PD=2CD=4LD1
D1Q:QD=LD1:PD=1:4
SD1:KD=D1Q:QD=1:4
LD1=KD=6
(SQ)^2=(QD1)^2+(SD1)^2  -> SQ=3sqr(89)/10
D1Q=DD1/5=12/5
SD1=KD/4=3/2
Рассмотрим пирамиду SLQD1, её объём V=(CD1)(D1Q)(SD1)/6=36/10
(SL)^2=(LD1)^2+(SD1)^2 -> SL=3sqr(17)/2
(LQ)^2=(LD1)^2+(QD1)^2 -> LQ=6sqr(29)/5
(SQ)^2+(QD1)^2+(SD1)^2 -> SQ=3sqr(89)/10
Напишем теорему косинусов для треугольника SLQ:
(SQ)^2=(SL)^2+(LQ)^2-2(SL)(LQ)cos(SLQ)
cos(SLQ)=20/[sqr(17)sqr(29)]
sin(SLQ)=sqr(93)/[sqr(17)sqr(29)]
Площадь треугольника SLQ равна s=1/2(SL)(LQ)sin(SLQ)=9sqr(93)/10
Искомое расстояние d(D1,KLF)=3V/s=[3x36x10]/[10x9xsqr(93)]=12/sqr(93)
Умножим числитель и знаменатель на корень из 93: 12sqr(93)/[sqr(93)sqr(93)]=12sqr(93)/93=4sqr(93)/31.
Ответ 4sqr(93)/31