Даны квадраты ABCD и AEFG, а также прямоугольник EHIF. Точка Е лежит на отрезке IH и отлична от точек I и H. Точка F лежит на отрезке DC. Найдите площадь прямоугольника AHIG, если известно, что AB=10.

введем обозначения:
а = длина стороны квадрата ABCD (а = 10)
b = длина стороны квадрата AEFG
β = ∠DAF
тогда получаем:
DF = AD * tg(β) = a*tg(β)
CF = DC - DF = a - a*tg(β) = a*(1 - tg(β))
AF = AD / cos(β) = a / cos(β)
b = AF/√2 = a / (√2*cos(β))
∠GAD = 45° - ∠DAF = 45° - β, значит:
∠DFG = ∠GAD = ∠IFC = 45° - β
cos(45° - β) = 1/√2*(cos(β) + sin(β))
FI = CF * cos(∠IFC) = a*(1 - tg(β)) * cos(45° - β) =
= a / √2 * (cos(β) - sin(β))/cos(β) * (cos(β) + sin(β)) =
= a / √2 * (cos²(β) - sin²(β))/cos(β)
площадь прямоугольника AHIG равна:
AG * GI = AG * (GF + FI) = AG² + AG * FI =
= a² / (2*cos²(β)) + a² / 2 * (1/cos(β) * (cos²(β) - sin²(β))/cos(β)) =
= a² / 2 * (1/cos²(β) + (cos²(β) - sin²(β))/ cos²(β)) =
= a² /( 2 * cos²(β))* (1 + cos²(β) - sin²(β)) = a² /( 2 * cos²(β))* (2* cos²(β) ) = a²
Ответ:
площадь прямоугольника AHIG равна: 10² = 100